Dział MAT.1.2›Wzory skróconego mnożenia — wszystkie wzory i skróty

Wzory skróconego mnożenia — wszystkie wzory i skróty

Klasa 1PodstawaNie zgub 2ab

Wzory skróconego mnożenia nie są do ozdoby — one mają skrócić rachunki i pomóc rozpoznawać ukryte kwadraty oraz różnice kwadratów. Najważniejsze jest nie zgubić środkowego składnika 2ab.

⏱ ~24 min
Wzory skróconego mnożenia — wszystkie wzory i skróty

Po co Ci ten temat?

Wzory skróconego mnożenia to jedno z najczęściej używanych narzędzi w algebrze: upraszczanie wyrażeń, rozkład na czynniki, równania, funkcja kwadratowa, dowody. To temat, w którym uczeń często „prawie umie", ale traci punkty przez jeden brakujący składnik.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko wymnożyć albo rozłożyć na czynniki charakterystyczne wyrażenia — działają w obie strony.

Trzy najważniejsze (klasa 1):

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Wzory sześcienne (przydatne, rzadziej w PP):

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2),a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Uwaga na środek: w (a−b)2(a-b)^2 środkowy składnik to −2ab-2ab (a nie samo −ab-ab). I pamiętaj — nie ma wzoru rozkładu na a2+b2a^2+b^2 w liczbach rzeczywistych.

Kwadrat różnicy vs różnica kwadratów

dwa podobne zapisy, ale różne wzory

(a−b)²
a²−b²
= a² − 2ab + b² (trójmian)
1
= (a−b)(a+b) (iloczyn)
kwadrat jednego nawiasu
2
dwa kwadraty z minusem między nimi

(a−b)² to TRÓJMIAN ze środkiem −2ab; a²−b² to ILOCZYN dwóch nawiasów. Nie myl ich.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Rozwijanie nawiasu: 1. Rozpoznaj a i b (uwaga: jeśli a=2x , to a^2=(2x)^2=4x^2 ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (rozwijanie). Rozwiń (2x-3)^2 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Typowe pułapki i błędy

- (a+b)^2=a^2+b^2 . FAŁSZ — (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ; brakuje środkowego 2ab .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Wzory często są ukryte — zadanie wygląda jak zwykłe przekształcenie, ale najkrótsza droga to zauważyć wzór: rozkład na czynniki, skracanie ułamków algebraicznych, dowody, przekształcanie funkcji kwadratowej. Wskazówka maturalna: gdy wid…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Kwadrat sumy

Wzór (a+b)²=a²+2ab+b².

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →