Dział MAT.1.3›Układy równań — metoda wyznacznikowa i zadania tekstowe

Układy równań — metoda wyznacznikowa i zadania tekstowe

Klasa 1Podstawa + PROd układu do punktów przecięcia

Metoda wyznacznikowa to szybki sposób rozwiązywania układów 2×2, jeśli dobrze podstawisz współczynniki do wzorów. W zadaniach tekstowych najważniejsze jest jednak nie samo liczenie, tylko poprawne ułożenie dwóch równań z treści.

⏱ ~29 min
Układy równań — metoda wyznacznikowa i zadania tekstowe

Po co Ci ten temat?

Ta lekcja ma dwa cele. Pierwszy: poznać metodę wyznacznikową — gotowy schemat na układ z „brzydkimi" współczynnikami (to wiedza dodatkowa, nieobowiązkowa na poziomie podstawowym). Drugi, ważniejszy maturalnie: umieć z treści zadania ułożyć sensowny układ. Na końcu dochodzi rozszerzenie ROW.12 — układ, w którym jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Metoda wyznacznikowa (Wiedza+). Dla układu

{ax+by=cdx+ey=f\begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases}

liczymy wyznaczniki, podmieniając kolumny wynikami c,fc,f:

W=∣abde∣=ae−bdW=\begin{vmatrix} a & b\\ d & e \end{vmatrix}=ae-bd Wx=∣cbfe∣=ce−bf,Wy=∣acdf∣=af−cdW_x=\begin{vmatrix} c & b\\ f & e \end{vmatrix}=ce-bf,\qquad W_y=\begin{vmatrix} a & c\\ d & f \end{vmatrix}=af-cd

Jeśli W≠0W\neq 0, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:

x=WxW,y=WyWx=\frac{W_x}{W},\qquad y=\frac{W_y}{W}

Uwaga: gdy W=0W=0, nie wolno dzielić przez WW — układ jest wtedy sprzeczny (brak rozwiązań) albo nieoznaczony (nieskończenie wiele); rozpoznajemy go osobno.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Metoda wyznacznikowa 2×2: 1. Doprowadź układ do postaci ax+by=c oraz dx+ey=f .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Rozwiąż metodą wyznacznikową \begin{cases} 2x+3y=13\\ x-y=1 \end{cases} . Współczynniki: a=2,b=3,c=13 , d=1,e=-1,f=1 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Rozszerzenie PR — ROW.12: układ liniowo-kwadratowy

Gdy jedno równanie jest liniowe , a drugie kwadratowe , rozwiązaniem są punkty przecięcia prostej z parabolą (albo okręgiem, hiperbolą) — może ich być 0 , 1 lub 2 . Przykład ROW.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Liczenie wyznaczników z nieuporządkowanego układu. Najpierw doprowadź do postaci ax+by=c , dx+ey=f (np.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Metoda wyznacznikowa nie zawsze jest wymagana — najważniejsza jest umiejętność ułożenia układu . Przykład: za 2 bilety normalne i 3 ulgowe zapłacono 76 zł, a normalny jest o 8 zł droższy.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Metoda wyznacznikowa

Sposób rozwiązywania układu równań przez obliczenie wyznaczników W, Wx i Wy

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

3 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:11%
← Poprzednia lekcja