Dział MAT.1.4›Funkcja liniowa — wykres, własności i zastosowania

Funkcja liniowa — wykres, własności i zastosowania

Klasa 1PodstawaNachylenie i punkt startu

Funkcja liniowa ma postać f(x)=ax+b, a jej wykresem jest prosta. Współczynnik a mówi, czy prosta rośnie, maleje czy jest pozioma, a b pokazuje przecięcie z osią OY.

⏱ ~25 min
Funkcja liniowa — wykres, własności i zastosowania

Po co Ci ten temat?

Funkcja liniowa to pierwszy typ funkcji, który naprawdę dużo robi w zadaniach. Opisuje stałe tempo zmiany: koszt za kilometr, pensję za godziny, cenę po rabacie, prostą na wykresie. Jeśli dobrze rozumiesz f(x)=ax+bf(x)=ax+b, łatwiej wejdziesz potem w funkcję kwadratową, geometrię analityczną i zadania tekstowe.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Funkcja liniowa ma wzór:

f(x)=ax+bf(x)=ax+b

Współczynnik kierunkowy aa to nachylenie prostej i decyduje o monotoniczności:

a>0⇒rosnąca,a<0⇒malejąca,a=0⇒stałaa>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a<0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}

Wyraz wolny bb to punkt startowy na osi OYOY: f(0)=bf(0)=b, więc wykres przechodzi przez (0,b)(0,b). To nie jest miejsce zerowe.

Miejsce zerowe (tylko dla a≠0a\neq 0) liczymy z równania:

ax+b=0  ⇒  x0=−baax+b=0 \;\Rightarrow\; x_0=-\frac{b}{a}

aa mówi o nachyleniu prostej, bb mówi, gdzie prosta przecina oś OYOY.

Infografika

Od wzoru f(x)=ax+b do wykresu

a — nachylenie, b — punkt startu na OY

1

Zaznacz punkt (0, b)

wykres przecina oś OY w (0 • b)

2

Ustal nachylenie z a

a=2: 1 w prawo • 2 w górę; a=−3: 1 w prawo • 3 w dół

3

Połącz prostą

dwa punkty wyznaczają prostą

4

Miejsce zerowe to NIE b

policz z ax+b=0 → x₀=−b/a (a≠0)

Pamiętaj: a decyduje o monotoniczności (a>0 rośnie, a<0 maleje, a=0 stała). b to przecięcie z OY, nie miejsce zerowe.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Zapisz wzór w postaci f(x)=ax+b i odczytaj a oraz b .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1. Dana jest f(x)=2x-6 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- „ b to miejsce zerowe". FAŁSZ — b to przecięcie z osią OY w (0,b) ; miejsce zerowe liczymy z ax+b=0 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Funkcja liniowa pojawia się w krótkich zadaniach: odczyt współczynników, miejsce zerowe, równoległość prostych, interpretacja zadania tekstowego. Przykład: cena przejazdu taksówką to 8 zł opłaty startowej i 3 zł za km, więc koszt to f(x…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Funkcja liniowa

Funkcja, którą można zapisać w postaci f(x)=ax+b

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →