Złożenie funkcji — definicja i wyznaczanie

Złożenie funkcji to operacja, w której jedną funkcję „wkładasz" do drugiej. Pojawia się wszędzie tam, gdzie wynik jednego procesu jest wejściem do następnego.

Na rozszerzeniu złożenie wraca przy pochodnej funkcji złożonej (reguła łańcuchowa, dział 4.1), więc warto je dobrze zrozumieć już teraz. Na maturze trzeba umieć wyznaczyć wzór złożenia, ale przede wszystkim jego dziedzinę — i to tu uczniowie tracą najwięcej punktów.

Definicja. Złożeniem funkcji $f$ i $g$ nazywamy funkcję $f \circ g$ daną wzorem

$$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$$

Zapis czytamy od prawej do lewej: najpierw działa $g$ (funkcja wewnętrzna), a jej wynik wkładamy do $f$ (funkcja zewnętrzna). Przykładowo dla $f(t)=t^2$ i $g(x)=x+3$ mamy $(f \circ g)(x)=f(x+3)=(x+3)^2$.

Kolejność ma znaczenie — złożenie nie jest przemienne: na ogół $f \circ g \neq g \circ f$.

Warunek dziedziny. To najważniejszy punkt na rozszerzeniu — dziedzina ma warunek podwójny:

$$D_{f \circ g} = \{\, x \in D_g : g(x) \in D_f \,\}$$

czyli $x$ musi należeć do dziedziny $g$ oraz $g(x)$ musi należeć do dziedziny $f$. Nie wystarczy policzyć $f(g(x))$ mechanicznie — dziedzina to część odpowiedzi, a nie dodatek.