Dział MAT.1.5›Wielokąty foremne — własności i konstrukcje

Wielokąty foremne — własności i konstrukcje

Klasa 1PodstawaRówne boki i równe kąty

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. W zadaniach najczęściej dzielisz go na trójkąty albo używasz środka figury, promienia okręgu opisanego i apotemy.

⏱ ~25 min
Wielokąty foremne — własności i konstrukcje

Po co Ci ten temat?

Wielokąty foremne wyglądają estetycznie, ale na sprawdzianie są przede wszystkim źródłem trójkątów: kwadrat, sześciokąt foremny czy trójkąt równoboczny często rozbijasz na prostsze figury. Temat przygotowuje też do geometrii z okręgiem, bo wielokąty foremne bywają wpisane w okrąg albo opisane na okręgu.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Wielokąt foremny ma dwie cechy naraz:

foremny⟺wszystkie boki roˊwne i wszystkie kąty roˊwne\text{foremny} \Longleftrightarrow \text{wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe}

Sama równość boków nie wystarczy (np. romb), sama równość kątów też nie — muszą być oba warunki.

Suma kątów wewnętrznych nn-kąta oraz jeden kąt wewnętrzny (w foremnym):

(n−2)⋅180∘,α=(n−2)⋅180∘n(n-2)\cdot 180^\circ,\qquad \alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

Kąt środkowy (po połączeniu środka z wierzchołkami):

β=360∘n\beta=\frac{360^\circ}{n}
KątWzórGdzie leży
Wewnętrzny α\alpha(n−2)⋅180∘n\tfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}przy wierzchołku
Środkowy β\beta360∘n\tfrac{360^\circ}{n}przy środku okręgu

Sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych — po połączeniu środka z wierzchołkami.

Infografika

Wielokąt foremny — kąty i podział

najpierw ustal liczbę boków n

1

Foremny? sprawdź oba warunki

wszystkie boki równe ORAZ wszystkie kąty równe

2

Suma kątów wewnętrznych

(n−2)·180°

3

Jeden kąt: wewnętrzny czy środkowy?

wewnętrzny α=(n−2)·180°/n; środkowy β=360°/n

4

Podział na trójkąty

połącz środek z wierzchołkami; sześciokąt → 6 trójkątów równobocznych

Pamiętaj: Wzór (n−2)·180° to SUMA kątów, a nie jeden kąt. Po policzeniu sumy podziel przez n.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Ustal liczbę boków n .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (sześciokąt). Dla n=6 suma kątów to (6-2)\cdot 180^\circ=720^\circ , a jeden kąt: \alpha=\frac{720^\circ}{6}=120^\circ Przykład 2 (odwrotny — z kąta liczba boków).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- (n-2)\cdot 180^\circ , nie (n-2)-180^\circ . To mnożenie , a nie odejmowanie.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Wielokąt foremny zwykle jest częścią większego zadania: pole, obwód, okrąg wpisany/opisany, kąty albo przekątne. Schemat: rozpoznaj wielokąt i n → zaznacz środek → podziel na trójkąty → policz \beta=\tfrac{360^\circ}{n} lub kąt wewnętrz…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Wielokąt foremny

Wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne równe

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Poprzednia lekcja