Nierówności wielomianowe — metoda tabelki znaków
Nierówność wielomianowa rozwiązuje się przez znalezienie miejsc zerowych i sprawdzenie znaków na przedziałach. Najważniejsze jest to, żeby nie zgubić pierwiastków parzystej krotności, bo przy nich znak wielomianu się nie zmienia.
Po co Ci ten temat?
Nierówność wielomianowa to naturalne rozwinięcie równania: w równaniu pytasz, gdzie wielomian równa się zero, a w nierówności — gdzie jest dodatni albo ujemny. To temat bardzo maturalny (rozszerzenie), bo łączy algebrę, oś liczbową i logiczny zapis odpowiedzi przedziałami.
Słownictwo
Najważniejsza idea w prostych słowach
Rozwiązujemy nierówności postaci:
Metoda tabelki (siatki) znaków działa po sprowadzeniu do postaci iloczynowej — po jednej stronie , po drugiej , a rozłożony na czynniki:
Pierwiastki dzielą oś liczbową na przedziały, na których wielomian ma stały znak. Kluczowa jest krotność pierwiastka:
| Czynnik | Pierwiastek | Krotność | Znak na przejściu |
|---|---|---|---|
| nieparzysta | zmienia się (wykres przecina oś) | ||
| parzysta | nie zmienia się (wykres dotyka osi) | ||
| nieparzysta | zmienia się |
Nawiasy w odpowiedzi: przy i pierwiastki nie wchodzą (otwarte); przy i pierwiastki wchodzą (domknięte).
Nierówność wielomianowa — od rozkładu do przedziałów
Etap A algebra, Etap B znaki
A: sprowadź do W(x) □ 0
wszystko na jedną stronę • po drugiej 0
A: rozłóż na czynniki
postać iloczynowa a(x−x₁)^k₁(x−x₂)^k₂…
B: pierwiastki na osi
uporządkuj rosnąco • ustal krotności
B: znak na przedziałach
nieparzysta krotność → zmiana znaku; parzysta → bez zmiany
B: wybierz przedziały i nawiasy
> • < otwarte; ≥ • ≤ pierwiastki wchodzą
Pamiętaj: Tabelka znaków zaczyna się OD rozkładu na czynniki. Miejsca zerowe to GRANICE przedziałów, nie cała odpowiedź.
Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
1. (algebra) Przenieś wszystko na jedną stronę: W(x) 0 , <0 , \ge 0 albo \le 0 .
Przykład
Przykład rozwiązany
Przykład 1 (trzy różne pierwiastki). Rozwiąż x(x-3)(x+2)<0 .
Przykład
Typowe pułapki i błędy
- Automatyczna zmiana znaku przy każdym pierwiastku. Znak zmienia się tylko przy nieparzystej krotności; przy parzystej (x-2)^2 wykres odbija się od osi.
Jak to wygląda na maturze?
Na rozszerzeniu CKE daje nierówność już częściowo rozłożoną albo taką, którą trzeba najpierw rozłożyć. Punkt traci się najczęściej za zły zapis przedziałów, zgubienie zera albo błędne nawiasy.
Kluczowe pojęcia
Nierówność wielomianowa
Nierówność, w której po jednej stronie mamy wielomian, a po drugiej 0
Materiały ZPE
4 materiały