Suma szeregu geometrycznego — suma nieskończona to granica, nie dodawanie bez końca

Klasa 3RozszerzenieCiągi

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego to granica ciągu sum częściowych, a nie dodawanie bez końca. Istnieje dokładnie wtedy, gdy |q| < 1, i wynosi S = a₁/(1 − q). Wzór jest w tablicach razem z warunkiem — ale to warunek, nie wzór, rozstrzyga o punktach w zadaniu z parametrem.

⏱ ~40 min

Wzorzec

Suma szeregu geometrycznego — suma nieskończona to granica, nie dodawanie bez końca

Zdanie „dodaj nieskończenie wiele liczb" brzmi jak polecenie niewykonalne i dlatego bywa rozumiane opacznie. Nie chodzi o dodawanie, które nigdy się nie kończy, tylko o granicę ciągu sum częściowych. Wzór jest w tablicach razem z warunkiem $|q|<1$ — ale to właśnie ten warunek, a nie sam wzór, rozstrzyga o punktach w zadaniu.

Schemat „Suma nieskończona to granica, nie dodawanie bez końca”. Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego, poziom rozszerzony. Po lewej wykres sum częściowych ciągu 4 plus 2 plus 1 plus jedna druga i tak dalej, przy pierwszym wyrazie równym 4 i ilorazie jedna druga. Kolejne sumy częściowe wynoszą 4, 6, 7, 7,5, 7,75, 7,875 i dalej, zbliżając się do poziomej linii przerywanej na wysokości 8, oznaczonej jako S równe 8. Podpis: kolejne sumy częściowe nie dochodzą do ośmiu, tylko do ośmiu dążą; suma szeregu jest granicą tego ciągu, nie jego ostatnim wyrazem. Po prawej trzy przypadki ilorazu q. Gdy wartość bezwzględna q jest mniejsza od jedynki, szereg jest zbieżny i suma istnieje, a wynosi a jeden podzielone przez jeden minus q, ponieważ q do potęgi n dąży do zera. Gdy wartość bezwzględna q równa się jedynce, szereg jest rozbieżny: dla q równego jeden suma częściowa równa się n razy a jeden i rośnie bez granicy, a dla q równego minus jeden sumy skaczą między jedynką a zerem i granicy nie ma. Gdy wartość bezwzględna q jest większa od jedynki, szereg jest rozbieżny, bo wyrazy rosną co do wartości bezwzględnej, a sumy uciekają. Skąd bierze się wzór, w trzech krokach, z których każdy jest w tablicach: suma skończona S n równa się a jeden razy jeden minus q do n, podzielone przez jeden minus q — to zakres podstawowy; q do potęgi n dąży do zera dla wartości bezwzględnej q mniejszej od jedynki — to jedyny warunek, który trzeba sprawdzić; S równe granicy S n równa się a jeden podzielone przez jeden minus q — to granica ciągu sum częściowych. Ułamek okresowy to szereg: 0,(27) równa się 27 setnych plus 27 dziesięciotysięcznych i tak dalej, czyli pierwszy wyraz 0,27 i iloraz 0,01, a suma wynosi 0,27 podzielone przez 0,99, czyli 27 przez 99, czyli 3 przez 11. Co jest w tablicach: wzór i warunek na wartość bezwzględną q — tak, strona 9; twierdzenia o granicach sumy, iloczynu, ilorazu oraz twierdzenie o trzech ciągach — tak, strony 9 i 10. Granica: Centralna Komisja Egzaminacyjna nie używa słowa szereg, w tablicach figuruje suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego; w zadaniu z parametrem warunek na wartość bezwzględną q jest częścią rozwiązania, nie przypisem, bo bez niego wzór nie obowiązuje. Zakres: podstawa programowa — matematyka, dział VI Ciągi, zakres rozszerzony, punkt 2. Schemat dydaktyczny NexTutor — materiał wtórny.

Otwórz figurę w nowej karcie ⤢

Przykład

Po tej lekcji będziesz umieć

Rozpoznać, kiedy nieskończony ciąg geometryczny ma sumę, a kiedy nie
Policzyć tę sumę ze wzoru, po sprawdzeniu warunku $|q|<1$
Wyjaśnić, dlaczego suma nieskończona jest granicą, a nie wynikiem dodawania
Rozwiązać zadanie z parametrem, w którym warunek zbieżności decyduje o odpowiedzi
Zamienić ułamek okresowy na zwykły, traktując go jako szereg
Korzystać z twierdzeń o granicach ciągów jako z narzędzi dostępnych w tablicach

Po co Ci to na maturze

To wymaganie poziomu rozszerzonego — podstawa programowa, dział VI Ciągi, zakres rozszerzony, punkt 2: rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Poziom podstawowy kończy się na sumie skończonej: $S$ . Przejście od $S$ do $S$ jest dokładnie tym, co dokłada rozszerzenie.

Uwaga terminologiczna, która oszczędza zamieszania. CKE nie używa słowa „szereg". W zestawie wzorów figuruje suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego i pod taką nazwą trzeba jej tam szukać. Nazwa „szereg geometryczny" jest powszechna w podręcznikach i obie znaczą to samo.

Wprowadzenie

Intuicja — dlaczego to w ogóle ma sens

Weź ciąg 4,\;2,\;1,\;\tfrac{1}{2},\;\ldots i dodawaj kolejne wyrazy: S 1=4,\quad S 2=6,\quad S 3=7,\quad S 4=7{,}5,\quad S 5=7{,}75,\quad S 6=7{,}875,\ \ldots Te liczby nie dochodzą do ósemki — żadna z nich nie jest równa 8 . Ale każda kolejna jest do niej…

Suma szeregu geometrycznego — suma nieskończona to granica, nie dodawanie bez końca

Suma szeregu geometrycznego — suma nieskończona to granica, nie dodawanie bez końca

Po tej lekcji będziesz umieć

Po co Ci to na maturze

Intuicja — dlaczego to w ogóle ma sens

Skąd bierze się wzór — trzy kroki, każdy z tablic

Warunek zbieżności — trzy przypadki

Narzędzia z tablic, o których warto wiedzieć

Ułamek okresowy to szereg

Solver — jak postępować krok po kroku

Przykład rozwiązany

Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych

Mini-praktyka — 8 zadań

Powtórka w 30 sekund

Kluczowe pojęcia

Częste błędy

Najczęstsze pytania

Status CKE

Ćwicz dalej

Źródła