Granica mówi, do jakiej wartości zbliża się funkcja, gdy x zbliża się do danego punktu. W zadaniach najważniejsze jest nie 'filozofowanie', tylko sprawdzenie podstawienia, stron i ewentualnego usunięcia problemu typu 0/0.
Granice i ciągłość są wejściem do pochodnej. Bez nich pochodna wygląda jak magiczny wzór, a z nimi widać, że chodzi o zachowanie funkcji bardzo blisko danego punktu.
Poziom: rozszerzenie. Na poziomie podstawowym zwykle nie analizuje się granic formalnie, ale w NexTutorze traktujemy to jako normalny element pełnego kursu matematyki rozszerzonej.
Granica funkcji w punkcie to odpowiedź na pytanie:
Do czego dąży f(x), gdy x jest coraz bliżej liczby a?
Nie pytamy najpierw, ile dokładnie wynosi f(a). Pytamy, co dzieje się obok punktu a.
Przykład intuicyjny:
f(x)=(x²−1)/(x−1)
Dla x=1 nie można podstawić, bo mianownik jest równy 0. Ale dla x≠1 można skrócić:
(x²−1)/(x−1)=((x−1)(x+1))/(x−1)=x+1
Więc gdy x zbliża się do 1, f(x) zbliża się do 2.
1. Sprawdź, czy można bezpośrednio podstawić x=a.
Przykład
Sprawdź, czy funkcja jest ciągła w punkcie x=2: f(x)=x² dla x<2 f(x)=4 dla x=2 f(x)=2x dla x 2 Krok 1: granica z lewej. Gdy x→2⁻, używamy wzoru x².
- Uczeń myli granicę z wartością funkcji w punkcie. - Uczeń kończy po otrzymaniu 0/0, zamiast szukać skrócenia.
Na rozszerzeniu CKE często sprawdza granice przez skracanie, sprzężenie albo analizę funkcji kawałkami. Punkt dostajesz nie za samo zgadnięcie wyniku, tylko za pokazanie, że wiesz, dlaczego można uprościć wyrażenie albo dlaczego granice…
Granica funkcji
Wartość, do której zbliża się f(x), gdy x zbliża się do wybranego punktu.