Zadania optymalizacyjne z pochodną — najtrudniejszy krok jest przed rachunkiem

Klasa 4RozszerzenieOptymalizacja

W zadaniu optymalizacyjnym pochodna jest najłatwiejszą częścią. Punkty rozstrzygają się wcześniej: na sprowadzeniu opisu słownego do funkcji jednej zmiennej i na dziedzinie wyznaczonej z warunków geometrycznych, bo to ona odrzuca nadmiarowe pierwiastki pochodnej.

⏱ ~45 min

Wzorzec

Zadania optymalizacyjne z pochodną — najtrudniejszy krok jest przed rachunkiem

W zadaniu optymalizacyjnym pochodna jest najłatwiejszą częścią. Trudność leży wcześniej: trzeba zamienić opis słowny — pudełko, wybieg, walec — w funkcję jednej zmiennej i wyznaczyć jej dziedzinę z warunków geometrycznych. Kto zrobi to dobrze, ma zadanie rozwiązane; kto to pominie, policzy bezbłędną pochodną z niewłaściwej funkcji.

Schemat „Zadania optymalizacyjne z pochodną”. Poziom rozszerzony. Droga od treści zadania do odpowiedzi w sześciu krokach: pierwszy — nazwij wielkość, którą optymalizujesz, i wypisz zmienne; drugi — zapisz więz, czyli równanie wiążące zmienne, wprost z treści zadania; trzeci — wyeliminuj zmienne i sprowadź wszystko do funkcji jednej zmiennej; czwarty — wyznacz dziedzinę z warunków geometrycznych, bo długość i objętość muszą być dodatnie; piąty — przyrównaj pochodną do zera, a następnie zbadaj ZNAK pochodnej po obu stronach każdego miejsca zerowego; szósty — sprawdź brzegi dziedziny i wróć do pytania zadania. Trzy pułapki. Pierwsza: warunek f prim od x zero równe zero jest konieczny, ale nie wystarczający — funkcja x do sześcianu ma pochodną równą zero w punkcie zero i nie ma tam ekstremum, bo jest rosnąca. Druga: dziedzina nie jest formalnością dopisywaną na końcu — to ona odrzuca nadmiarowe pierwiastki pochodnej. Trzecia: ekstremum lokalne to nie to samo co wartość największa lub najmniejsza w przedziale domkniętym; maksimum może leżeć na brzegu, gdzie pochodna wcale nie zeruje się. Przykład w jednej linii, pudełko z kwadratowego kartonu o boku 12: objętość V od x równa się x razy kwadrat wyrażenia 12 minus 2x; dziedzina od zera do sześciu, przedział otwarty; pochodna V prim od x równa się iloczyn wyrażeń 12 minus 2x oraz 12 minus 6x; miejsca zerowe to x równe 2 oraz x równe 6, przy czym x równe 6 odpada przez dziedzinę; znak pochodnej jest dodatni na przedziale od zera do dwóch i ujemny na przedziale od dwóch do sześciu, więc w punkcie x równym 2 jest maksimum; odpowiedź brzmi: wymiary 2 na 8 na 8 i objętość 128 centymetrów sześciennych, a nie samo x równe 2. Granica stosowalności: metoda wymaga funkcji różniczkowalnej, a gdy więz da się opisać funkcją kwadratową, wierzchołek paraboli jest szybszy i nie wymaga pochodnej. Zakres: podstawa programowa — matematyka, dział XIII Optymalizacja i rachunek różniczkowy, zakres rozszerzony, punkt 6. Schemat dydaktyczny NexTutor — materiał wtórny.

Otwórz figurę w nowej karcie ⤢

Przykład

Po tej lekcji będziesz umieć

Zamienić opis słowny w funkcję jednej zmiennej, wypisując najpierw więz
Wyznaczyć dziedzinę z warunków geometrycznych, a nie z wyglądu wzoru
Odróżnić warunek konieczny $f'(x$ od warunku wystarczającego na ekstremum
Rozstrzygnąć rodzaj ekstremum badaniem znaku pochodnej, nie zgadywaniem
Sprawdzić brzegi dziedziny i odróżnić ekstremum lokalne od wartości największej
Zapisać odpowiedź jako wielkość, o którą pytało zadanie, a nie jako wartość zmiennej

Po co Ci to na maturze

To wymaganie poziomu rozszerzonego — podstawa programowa, dział XIII, zakres rozszerzony, punkt 6: rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Na poziomie podstawowym optymalizacja też występuje, ale w jednym, węższym wariancie: zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową. Tam wystarczy wierzchołek paraboli i pochodna nie jest potrzebna — tym zajmuje się lekcja Funkcja kwadratowa w zadaniach — optymalizacja i modelowanie.

Różnica jest praktyczna: gdy po sprowadzeniu do jednej zmiennej wychodzi funkcja kwadratowa, licz wierzchołkiem. Gdy wychodzi wielomian stopnia trzeciego, funkcja wymierna albo pierwiastek — potrzebna jest pochodna.

Na arkuszu rozszerzonym to zwykle zadanie otwarte za kilka punktów, punktowane etapami. Największa część punktów nie leży w samym różniczkowaniu, tylko w poprawnym modelu i dziedzinie.

Wprowadzenie

Intuicja — dlaczego pochodna w ogóle rozwiązuje to zadanie

Wyobraź sobie, że idziesz po wykresie funkcji od lewej do prawej. Dopóki wspinasz się pod górę, pochodna jest dodatnia.

Zadania optymalizacyjne z pochodną — najtrudniejszy krok jest przed rachunkiem

Zadania optymalizacyjne z pochodną — najtrudniejszy krok jest przed rachunkiem

Po tej lekcji będziesz umieć

Po co Ci to na maturze

Intuicja — dlaczego pochodna w ogóle rozwiązuje to zadanie

Krok, który decyduje: sprowadzenie do jednej zmiennej

Dziedzina z warunków geometrycznych — tu przepada najwięcej punktów

Warunek konieczny to nie warunek wystarczający

Brzegi dziedziny — ekstremum lokalne kontra wartość największa

Chwyt, który skraca rachunek: optymalizuj kwadrat odległości

Solver — jak postępować krok po kroku

Przykład rozwiązany

Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych

Mini-praktyka — 8 zadań

Powtórka w 30 sekund

Kluczowe pojęcia

Częste błędy

Najczęstsze pytania

Status CKE

Ćwicz dalej

Źródła