Kalkulator ciągów

Q: Kiedy ciąg geometryczny ma sumę nieskończoną?

Tylko gdy |q| < 1 (iloraz z przedziału (−1, 1), różny od 0). Wtedy wyrazy maleją do zera i szereg jest zbieżny: S∞ = a₁/(1−q).

Q: Jak rozpoznać, czy ciąg jest rosnący?

Arytmetyczny rośnie, gdy r > 0. Geometryczny (o dodatnim a₁) rośnie, gdy q > 1; dla 0 < q < 1 maleje, a dla q < 0 jest naprzemienny.

Arytmetyczny i geometryczny · n-ty wyraz · suma

Pierwszy wyraz a₁Różnica rNumer wyrazu n

Wyraz a₁₀

Suma S₁₀

155

Pierwsze wyrazy · ciąg rosnący

25811141720232629

aₙ = a₁ + (n−1)·r, Sₙ = n(a₁+aₙ)/2

Dwa najważniejsze ciągi maturalne. Arytmetyczny ma stałą różnicę $r$ między wyrazami:

$a_n=a_1+(n-1)r \qquad S_n=\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}$

Geometryczny ma stały iloraz $q$ :

$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1}\ (q\neq1)$

Gdy $|q|<1$ , ciąg geometryczny ma skończoną sumę szeregu nieskończonego $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-q}$ . Podaj $a_1$ , $r$ lub $q$ oraz $n$ — dostaniesz $a_n$ , $S_n$ , listę pierwszych wyrazów i monotoniczność.

Przykłady

Arytmetyczny: a₁=2, r=3, n=10

→ a₁₀ = 29, S₁₀ = 155

Geometryczny: a₁=3, q=2, n=5

→ a₅ = 48, S₅ = 93

Geometryczny: a₁=1, q=0,5

→ S∞ = a₁/(1−q) = 2

Powiązane materiały

Wzór: suma ciągu arytmetycznego → Wzór: własność środkowego wyrazu →

Najczęstsze pytania

Kiedy ciąg geometryczny ma sumę nieskończoną?+

Tylko gdy |q| < 1 (iloraz z przedziału (−1, 1), różny od 0). Wtedy wyrazy maleją do zera i szereg jest zbieżny: S∞ = a₁/(1−q).

Jak rozpoznać, czy ciąg jest rosnący?+

Arytmetyczny rośnie, gdy r > 0. Geometryczny (o dodatnim a₁) rośnie, gdy q > 1; dla 0 < q < 1 maleje, a dla q < 0 jest naprzemienny.

← Wszystkie kalkulatory