Kombinacje z powtórzeniami

C(n+k−1, k) · wybór z powtórzeniami

Liczba typów nWybieranych k

C′(n,k) = C(n+k−1, k) = C(6, 3)

kombinacji z powtórzeniami

Dla porównania — bez powtórzeń: C(4,3) = 4

Kombinacje z powtórzeniami — gdy wybieramy k elementów spośród n typów, elementy mogą się powtarzać, a kolejność nie ma znaczenia (np. ile zestawów 3 kulek z 4 kolorów). Wzór: C(n+k−1, k).

Kombinacje z powtórzeniami liczą sposoby wyboru $k$ elementów spośród $n$ typów, gdy elementy mogą się powtarzać, a kolejność nie ma znaczenia:

$\overline{C}_n^{\,k}=\binom{n+k-1}{k}$

Przykład: ile różnych zestawów 3 kulek można wybrać z 4 kolorów (kolory mogą się powtarzać)? Odpowiedź: $\binom{4+3-1}{3}=\binom{6}{3}=20$ .

To odmiana zwykłych kombinacji — dla porównania kalkulator podaje też liczbę kombinacji bez powtórzeń $\binom{n}{k}$ . Typowe zastosowania: rozdawanie identycznych obiektów, wybór z asortymentu, „gwiazdki i przegródki".

Przykłady

3 kulki z 4 kolorów (z powtórzeniami)

→ C(6,3) = 20

2 lody z 5 smaków (mogą być takie same)

→ C(6,2) = 15

Najczęstsze pytania

Kiedy używa się kombinacji z powtórzeniami?+

Gdy wybieramy elementy z powtarzalnego asortymentu i kolejność nie gra roli — np. kupujemy kilka lodów z dostępnych smaków (smaki mogą się powtarzać).

Skąd wzór C(n+k−1, k)?+

Z metody „gwiazdek i przegródek": k wyborów (gwiazdki) i n−1 przegródek między typami ustawiamy na n+k−1 pozycjach, wybierając k miejsc na gwiazdki.

← Wszystkie kalkulatory