Macierze — wyznacznik i odwrotność

Wyznacznik · macierz odwrotna · 2×2 i 3×3

Wyznacznik det

Macierz odwrotna

0,6

-0,2

0,4

Macierz ma odwrotną tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Odwrotna: A⁻¹ = (1/det)·transponowana macierz dopełnień algebraicznych.

Podstawowe operacje na macierzach kwadratowych. Wyznacznik macierzy $2\times2$ :

$\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc$

dla $3\times3$ liczy się go rozwinięciem Laplace’a. Wyznacznik decyduje o odwracalności: macierz ma odwrotną tylko wtedy, gdy $\det\neq0$ . Wtedy:

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot(\text{transponowana macierz dopełnień algebraicznych})$

Kalkulator podaje wyznacznik i pełną macierz odwrotną dla wymiarów $2\times2$ i $3\times3$ .

Przykłady

det [[2,1],[1,3]]

→ = 2·3 − 1·1 = 5

Macierz z det = 0

→ jest osobliwa — nie ma odwrotności

Najczęstsze pytania

Kiedy macierz ma odwrotność?+

Tylko gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Macierz z det = 0 nazywamy osobliwą (nieodwracalną) — jej wiersze/kolumny są liniowo zależne.

Do czego służy wyznacznik?+

M.in. do rozwiązywania układów równań (metoda Cramera), badania odwracalności macierzy oraz liczenia pól i objętości w geometrii (jako współczynnik skali przekształcenia).

← Wszystkie kalkulatory