NexTutor
Baza wiedzy/Kalkulatory/Trygonometria trójkąta

Trygonometria trójkąta

Twierdzenie cosinusów i sinusów · pole · rysunek

Trygonometria trójkąta — ilustracja
α (A)
36,87°
β (B)
53,13°
γ (C)
90°
Pole
6
Obwód
12
Suma kątów = 180°
c = 5b = 4a = 3ABC

Tw. cosinusów: cos α = (b²+c²−a²)/(2bc). Pole (wzór Herona): √[s(s−a)(s−b)(s−c)], s = obwód/2.

Rozwiązywanie trójkąta z twierdzeń trygonometrycznych. Mając trzy boki (SSS), kąty policzysz z twierdzenia cosinusów:

cosα=b2+c2a22bc\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

a pole z wzoru Herona P=s(sa)(sb)(sc)P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, gdzie s=a+b+c2s=\tfrac{a+b+c}{2}.

Mając dwa boki i kąt między nimi (SAS), trzeci bok wyznaczysz z c2=a2+b22abcosγc^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma, a pole ze wzoru P=12absinγP=\tfrac12 ab\sin\gamma. Kalkulator liczy wszystkie kąty, pole i obwód oraz rysuje trójkąt w skali.

Przykłady

SSS: a=3, b=4, c=5
kąty 36,87° / 53,13° / 90° (trójkąt prostokątny), pole 6
SAS: a=5, b=7, γ=60°
c = √39 ≈ 6,24, pole = ½·5·7·sin60° ≈ 15,16

Powiązane materiały

Najczęstsze pytania

Kiedy używać twierdzenia sinusów, a kiedy cosinusów?+

Cosinusów — gdy znasz trzy boki (SSS) albo dwa boki i kąt między nimi (SAS). Sinusów — gdy masz bok i dwa kąty albo bok naprzeciw znanego kąta.

Skąd wiadomo, że trójkąt istnieje?+

Z nierówności trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Kalkulator sprawdza to i ostrzega, gdy trójkąt nie istnieje.