Wartość bezwzględna — równania i nierówności

Q: Kiedy nierówność z wartością bezwzględną nie ma rozwiązań?

|ax+b| < c nie ma rozwiązań, gdy c ≤ 0 (poza c = 0 dla „≤", które daje jeden punkt) — bo wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

|ax + b| ⋛ c · rozwiązania i przedziały

Wartość bezwzględna — równania i nierówności — ilustracja

|x +|

Rozwiązanie

x = -1 lub x = 5

|ax+b| = c oznacza ax+b = c lub ax+b = −c. Dla „mniejsze" dostajemy przedział między pierwiastkami, dla „większe" — dwa przedziały na zewnątrz. Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

Wartość bezwzględna $|ax+b|$ to odległość wyrażenia od zera — zawsze nieujemna. Rozwiązywanie zależy od typu relacji:

Równanie $|ax+b|=c$ : dla $c>0$ daje dwa rozwiązania ( $ax+b=c$ lub $ax+b=-c$ ), dla $c=0$ jedno, dla $c<0$ brak.
Nierówność $|ax+b|<c$ : rozwiązaniem jest przedział między pierwiastkami ( $-c<ax+b<c$ ).
Nierówność $|ax+b|>c$ : rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów na zewnątrz.

Kalkulator obsługuje wszystkie relacje ( $=,<,\le,>,\ge$ ) i przypadki brzegowe (np. $c<0$ ).

Przykłady

|x − 2| = 3

→ x = −1 lub x = 5

|x − 2| < 3

→ x ∈ (−1, 5)

|x − 2| > 3

→ x ∈ (−∞, −1) ∪ (5, +∞)

Powiązane materiały

Wzór: definicja wartości bezwzględnej →

Najczęstsze pytania

Dlaczego |ax+b| = c daje dwa rozwiązania?+

Bo wyrażenie w środku może być równe c lub −c — obie możliwości mają tę samą wartość bezwzględną. Stąd dwa równania i (dla c > 0) dwa pierwiastki.

Kiedy nierówność z wartością bezwzględną nie ma rozwiązań?+

|ax+b| < c nie ma rozwiązań, gdy c ≤ 0 (poza c = 0 dla „≤", które daje jeden punkt) — bo wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

← Wszystkie kalkulatory