Drapieżnik–ofiara — model Lotki–Volterry

Co się właśnie stało?

Obie populacje falują w kółko, ale nie równocześnie: najpierw rośnie liczba ofiar, a dopiero potem — gdy jest ich pod dostatkiem — mnożą się drapieżniki. Drapieżniki przejadają ofiary, ich liczba spada, drapieżnikom brakuje jedzenia i one też spadają, ofiary znów rosną… i cykl wraca do punktu wyjścia.

Model Lotki–Volterry:

$N$ — liczebność ofiar, $P$ — drapieżników. $\alpha$ to tempo rozrodu ofiar, $\beta$ skuteczność polowań, $\gamma$ śmiertelność drapieżników, a $\delta$ mówi, ile nowych drapieżników daje jedna zjedzona ofiara.

Sprzężenie zwrotne między populacjami:

To układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym: wzrost ofiar napędza wzrost drapieżników ($+\delta NP$), a wzrost drapieżników dławi ofiary ($-\beta NP$). Każda populacja reguluje drugą, dlatego nie ma stabilnej wartości — jest wieczne kołysanie wokół równowagi $N^\*=\gamma/\delta,\ P^\*=\alpha/\beta$.

Przesunięcie fazowe (phase lag):

Drapieżnik reaguje na ofiary z opóźnieniem — potrzebuje czasu, żeby się rozmnożyć. Dlatego jego szczyt zawsze wypada za szczytem ofiar (o ok. ćwierć okresu). To właśnie przesunięcie fazowe, zaznaczone na wykresie strzałką między pionowymi liniami.

Co to portret fazowy?

Zamiast rysować $N$ i $P$ w funkcji czasu, rysujemy je względem siebie — $N$ na osi poziomej, $P$ na pionowej. Punkt (stan układu) krąży po zamkniętej pętli: po jednym okresie wraca dokładnie tam, gdzie zaczął. Zamknięta krzywa = ruch okresowy, cykliczny. To niezmiennik tego modelu.

Po co Ci to na maturze:

Wykres dwóch oscylujących populacji z drapieżnikiem „o krok w tyle" to klasyka zadań z ekologii. Umieć odczytać, kto jest ofiarą (szczyt wcześniej), a kto drapieżnikiem (szczyt później), i wyjaśnić to sprzężeniem zwrotnym — to gotowe punkty.

Zapamiętaj: ofiary rosną pierwsze, drapieżniki idą za nimi z opóźnieniem, a cały układ krąży po zamkniętej pętli — populacje regulują się wzajemnie i nigdy nie stoją w miejscu.