Moment bezwładności

Moment bezwładności I to miara oporu bryły na zmianę ruchu obrotowego — zależy od rozkładu masy: obręcz I=mR², walec ½mR², kula ⅖mR². Przy staczaniu z równi energia potencjalna dzieli się na ruch postępowy i obrotowy; kula stacza się najszybciej, bo ma najmniejsze I względem masy. Wybierz kształt bryły.

Fizyka · Bryła sztywna · Moment bezwładności (FIZ.BRYL)

Kształt bryły

I = \tfrac25 mR^2

Masa

m

1.0 kg

Promień

R

0.20 m

Co szybciej stoczy się z równi (ta sama masa i promień)?

masa m

1.0 kg

promień R

0.20 m

moment I

0.016

prędkość v

4.10 m/s

Co się właśnie stało?

Z tej samej równi kula stoczyła się szybciej niż obręcz. Obie zamieniają tę samą energię potencjalną $mgh$ , ale obręcz musi „schować" większą jej część w ruch obrotowy — więc mniej zostaje na rozpędzanie w dół.

Co to jest moment bezwładności?

To miara oporu bryły na zmianę ruchu obrotowego — obrotowy odpowiednik masy. Zależy nie tylko od masy, ale też od jej rozkładu względem osi: im dalej masa od osi, tym większe $I$ . Dla brył jednorodnych $I = c\,mR^2$ .

I_{\text{obr}}=mR^2,\quad I_{\text{walec}}=\tfrac12 mR^2,\quad I_{\text{kula}}=\tfrac25 mR^2

Obręcz ma całą masę na obwodzie (daleko od osi) → największe $c=1$ . Kula ma masę rozłożoną też blisko środka → najmniejsze $c=\tfrac25$ .

Bilans energii przy staczaniu:

mgh = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 I\omega^2,\qquad \omega=\dfrac{v}{R}

Energia obrotowa $E_{obr}=\tfrac12 I\omega^2$ . Wstawiając $I=c\,mR^2$ i $\omega=v/R$ dostajemy:

v=\sqrt{\dfrac{2gh}{1+c}}

Masa i promień się skróciły — prędkość na dole zależy tylko od kształtu $c$ . Mniejsze $c$ ⇒ większe $v$ . Dlatego kolejność jest zawsze: kula, potem walec, na końcu obręcz.

Po co Ci to na maturze:

Zadania o staczaniu rozwiązujesz jednym równaniem $mgh=\tfrac12 mv^2+\tfrac12 I\omega^2$ z podstawieniem $\omega=v/R$ . Chwyt: wypisz $I=c\,mR^2$ dla danej bryły, a $m$ i $R$ same się skrócą.

Zapamiętaj: moment bezwładności to opór na obrót i zależy od rozkładu masy — im masa dalej od osi, tym większe $I$ i tym wolniej bryła się stacza.

Model poglądowy · Wirtualne laboratorium NexTutor

Najczęstsze pytania

›

Co to moment bezwładności?

Miara bezwładności bryły w ruchu obrotowym — zależy od masy i jej rozłożenia względem osi. Im dalej masa od osi, tym większe I.

›

Czemu kula stacza się szybciej?

Bo ma najmniejsze I względem masy — mniej energii idzie w ruch obrotowy, a więcej w postępowy, więc rozpędza się najszybciej.

›

Od czego zależy I?

Od masy bryły, jej kształtu i rozkładu masy względem osi obrotu (I = c·mR², gdzie c zależy od kształtu).

Teoria (klasa): FIZ.2.1.2 → Lekcja maturalna: FIZ.M.2.2 →