Fraktal Newtona — baseny przyciągania
Metoda Newtona iteruje z_{n+1} = z_n − f/f′, by znaleźć pierwiastek równania. Dla z³ = 1 są trzy pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej. Pokoloruj każdy punkt startowy wg tego, do którego zbiegnie — powiększaj obraz i zobacz, że granice basenów są fraktalne i samopodobne.
Co się właśnie stało?
Metoda Newtona szuka pierwiastka równania, iterując z punktu startowego. Równanie ma trzy pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej. Kolorujemy każdy punkt startowy wg tego, do którego pierwiastka zbiegnie. Wewnątrz basenów jest gładko — ale na granicach panuje chaos.
Iteracja Newtona:
Trzy pierwiastki (kolory) mają swoje „baseny przyciągania". Kłopot zaczyna się tam, gdzie baseny się stykają.
Niezmiennik — samopodobne granice:
Brzegi basenów są fraktalne: nieskończenie poszarpane i samopodobne w każdej skali. Co więcej — między dowolnymi dwoma basenami zawsze znajdziesz fragment trzeciego. Dlatego dwa bliskie starty mogą trafić zupełnie gdzie indziej.
Po co Ci to na maturze:
To akademickie rozszerzenie pochodnej i metod przybliżonego rozwiązywania równań. Metoda Newtona jest wszędzie w numeryce — a jej „gubienie się" na granicach to piękny przykład chaosu i fraktali.
Zapamiętaj: . Baseny przyciągania trzech pierwiastków mają fraktalne, samopodobne granice.
Najczęstsze pytania
›Czemu metoda Newtona „gubi się”?
W pobliżu granic między basenami przyciągania kolejne iteracje potrafią „przeskakiwać” między okolicami różnych pierwiastków, zanim ustabilizują się przy jednym. Dwa niemal identyczne starty mogą wpaść w inne baseny — stąd chaotyczna, poszarpana granica.
›Co to basen przyciągania?
Zbiór wszystkich punktów startowych, z których metoda Newtona zbiega do danego pierwiastka. Każdy z trzech pierwiastków z³=1 ma swój basen (kolor). Wewnątrz basenu jest „gładko”; cała złożoność siedzi na granicach.
›Czemu granica jest fraktalem?
Bo jest samopodobna — wygląda tak samo poszarpana w każdym powiększeniu — i ma zdumiewającą własność: między dowolnymi dwoma basenami zawsze wciśnięty jest fragment trzeciego. Takiej granicy nie da się „wygładzić” żadnym powiększeniem.