Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy O nas Cennik Pomoc

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.1›Zamiana podstawy logarytmu — którą podstawę wybrać

Zamiana podstawy logarytmu — którą podstawę wybrać

Klasa 1RozszerzenieZamiana podstawy logarytmu

Wzór log_b c = log_a c / log_a b jest w tablicach maturalnych, więc egzamin nie sprawdza, czy go pamiętasz — sprawdza, czy zauważysz, że jest potrzebny, i czy wybierzesz podstawę upraszczającą rachunek.

⏱ ~35 min

Zamiana podstawy logarytmu — nie wzór do zapamiętania, tylko decyzja, którą podstawę wybrać

Ten wzór znajdziesz w tablicach maturalnych. Na egzaminie nikt nie sprawdza, czy go pamiętasz — sprawdza, czy zauważysz, że jest potrzebny, i czy wybierzesz podstawę, która upraszcza rachunek. To są dwie różne umiejętności i to one decydują o punktach.

Przykład

Po tej lekcji będziesz umieć

Rozpoznać sytuację, w której logarytmów nie da się porównać ani dodać bez sprowadzenia do wspólnej podstawy
Zastosować wzór na zamianę podstawy i świadomie wybrać podstawę docelową
Wyprowadzić i stosować wniosek $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$
Policzyć logarytm o dowolnej podstawie kalkulatorem prostym, który zna tylko $\lg$
Sprawdzić założenia wzoru i rozpoznać, kiedy nie wolno go użyć
Rozwiązać równanie, w którym ta sama niewiadoma stoi pod logarytmami o różnych podstawach

Po co Ci to na maturze

To wymaganie poziomu rozszerzonego — na poziomie podstawowym wystarczy definicja logarytmu i trzy własności działań, które poznałeś w lekcji Logarytmy — definicja, własności i obliczenia.

Na rozszerzeniu zamiana podstawy wraca w trzech miejscach: przy równaniach logarytmicznych z różnymi podstawami, przy nierównościach, gdzie trzeba porównać dwa logarytmy, oraz przy funkcji logarytmicznej, gdy chcesz pokazać, że wykresy $\log_2 x$ i $\log_4 x$ różnią się tylko stałym mnożnikiem.

Wzór jest w zestawie Wybrane wzory matematyczne, z którego korzystasz na egzaminie. Ucz się rozpoznawania sytuacji, nie zapisu.

Wprowadzenie

Intuicja — po co w ogóle zmieniać podstawę

Logarytm o podstawie $a$ odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść $a$ , żeby dostać $b$ ? Dopóki wszystkie logarytmy w zadaniu mają tę samą podstawę, możesz je dodawać, odejmować i porównywać — bo mierzysz tą samą miarką.

Kłopot zaczyna się, gdy podstawy są różne. Wyrażenia $\log_2 x$ i $\log_4 x$ mierzą to samo $x$ , ale w dwóch różnych skalach. Nie można ich dodać tak po prostu, tak jak nie dodasz metrów do stóp bez przeliczenia.

Zamiana podstawy to właśnie przelicznik między skalami.

Słownictwo

Wzór i jego założenia

\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}

Warunki, przy których wzór jest prawdziwy:

warunek	dlaczego
$a > 0$ i $a \neq 1$	$a$ to nowa podstawa — musi być dozwoloną podstawą logarytmu
$b > 0$ i $b \neq 1$	$b$ to stara podstawa; gdyby $b = 1$ , mianownik $\log_a b$ byłby zerem
$c > 0$	$c$ jest argumentem — logarytm liczby niedodatniej nie istnieje

Warunek $b \neq 1$ nie jest formalnością. To on chroni przed dzieleniem przez zero: $\log_a 1 = 0$ dla każdej dozwolonej podstawy $a$ .

Słownictwo

Którą podstawę wybrać — to jest cała decyzja

We wzorze $a$ jest dowolne, byle spełniało warunki. Dostajesz więc nie jedno przekształcenie, lecz nieskończenie wiele — i sens ma tylko to, które upraszcza rachunek.

sytuacja	rozsądny wybór $a$	dlaczego
wszystkie liczby są potęgami dwójki	$a = 2$	logarytmy wyjdą całkowite
podstawy to $3$ , $9$ , $27$	$a = 3$	najmniejsza wspólna „cegła"
masz policzyć kalkulatorem	$a = 10$	kalkulator prosty zna tylko $\lg$
zadanie dotyczy $\log_b c$ i $\log_c b$	$a = b$ albo $a = c$	jeden z logarytmów zredukuje się do $1$

Reguła praktyczna: wybierz jako nową podstawę tę liczbę, której potęgami są wszystkie pozostałe liczby w zadaniu.

\log_8 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 8} = \frac{5}{3}

Gdybyś wybrał $a = 10$ , dostałbyś $\dfrac{\lg 32}{\lg 8}$ — wynik ten sam, ale bez kalkulatora nic z tego nie odczytasz.

Wniosek: odwracanie logarytmu

Podstaw we wzorze $c = a$ :

\log_b a = \frac{\log_a a}{\log_a b} = \frac{1}{\log_a b}

czyli

\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \qquad (a, b > 0,\ a \neq 1,\ b \neq 1)

Zamiana miejscami podstawy i argumentu daje odwrotność. Warunek $b \neq 1$ jest tu konieczny: dla $b = 1$ lewa strona nie istnieje, bo $1$ nie jest dozwoloną podstawą.

To samo rozumowanie daje drugi użyteczny wniosek:

\log_{a

Stąd na przykład $\log_4 x = \tfrac{1}{2}\log_2 x$ oraz $\log_9 x = \tfrac{1}{2}\log_3 x$ . W równaniach ten wniosek oszczędza więcej czasu niż sam wzór wyjściowy.

Kiedy NIE zmieniać podstawy

Zamiana podstawy jest narzędziem, nie odruchem. Nie używaj jej, gdy:

wszystkie podstawy są już równe — wtedy wystarczą zwykłe własności działań na logarytmach;
logarytm da się policzyć wprost z definicji — $\log_7 49 = 2$ , bo $7$ ; szukanie tu wspólnej podstawy to strata czasu;
zadanie pyta o zależność, nie o wartość — czasem wystarczy zauważyć, że $\log_4 x$ jest połową $\log_2 x$ .

Niepotrzebna zamiana podstawy nie jest błędem merytorycznym, ale na egzaminie kosztuje minuty i zwiększa ryzyko pomyłki rachunkowej.

Wzorzec

Solver — jak postępować krok po kroku

Schemat decyzyjny „Którą podstawę wybrać — decyzja, nie odruch”. Zamiana podstawy logarytmu, poziom rozszerzony. Pięć kroków. Krok 1: wypisz wszystkie podstawy występujące w zadaniu. Krok 2: czy podstawy są już równe? Jeśli tak — koniec, nie zmieniaj podstawy, użyj własności działań, na przykład log₂x + log₂y = log₂(xy). Krok 3: czy któryś logarytm liczy się wprost z definicji? Jeśli tak — policz go wprost i zmniejsz problem, na przykład log₇49 = 2, bo 7² = 49. Krok 4: znajdź wspólną „cegłę”, czyli liczbę, której potęgami są wszystkie podstawy — dla podstaw 2, 4, 8, 16, 32 wybierz a = 2, bo logarytmy wyjdą całkowite; dla 3, 9, 27 wybierz a = 3. Jeśli wspólnej cegły nie ma, a potrzebna jest wartość liczbowa — wybierz a = 10, ponieważ kalkulator prosty dopuszczony na maturze liczy wyłącznie lg. Krok 5: zastosuj wzór log_b c = log_a c / log_a b — w mianowniku zawsze stoi logarytm starej podstawy. Warunki, bez których wzór jest fałszywy: a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, c > 0; warunek b ≠ 1 chroni przed dzieleniem przez zero. Granica stosowalności: zamiana podstawy nie zmienia wartości logarytmu, zmienia tylko jego postać; różne wybory a dają ten sam wynik, więc wzór nie jest metodą obliczania, lecz sprowadzania do wspólnej skali. Źródło wzoru i warunków: Centralna Komisja Egzaminacyjna, „Wybrane wzory matematyczne” na egzamin maturalny z matematyki, część Logarytmy, strona 5. Zakres: podstawa programowa — matematyka, dział I Liczby rzeczywiste, zakres rozszerzony, punkt 1. Schemat dydaktyczny NexTutor — materiał wtórny.

Otwórz figurę w nowej karcie ⤢

Wypisz wszystkie podstawy występujące w zadaniu. Jeśli jest tylko jedna — wzór nie jest potrzebny, przejdź do własności działań.
Sprawdź, czy któryś logarytm liczy się wprost z definicji. Jeśli tak, policz go i zmniejsz problem.
Znajdź wspólną „cegłę" — liczbę, której potęgami są wszystkie podstawy i argumenty. Zwykle to $2$ , $3$ albo $5$ . Jeśli takiej nie ma, a potrzebujesz liczby — weź $a = 10$ i kalkulator.
Zamień każdy logarytm na wybraną podstawę wzorem $\log_b c = \dfrac{\log_a c}{\log_a b}$ .
Sprawdź warunki: każda podstawa dodatnia i różna od $1$ , każdy argument dodatni. Przy równaniu z niewiadomą zapisz dziedzinę przed przekształceniami.
Podstaw jedną zmienną pomocniczą, na przykład $t = \log_a x$ . Równanie logarytmiczne zamienia się wtedy w algebraiczne.
Rozwiąż i wróć do $x$ — nie zapomnij tego kroku, bo $t$ nie jest odpowiedzią.
Sprawdź wynik w dziedzinie. Rozwiązanie spoza dziedziny odrzucasz, nawet jeśli rachunek był poprawny.

Krok 5 i 8 to nie ostrożność, tylko część rozwiązania. Przekształcenia logarytmiczne bywają nierównoważne i potrafią wprowadzić pierwiastek obcy.

Przykład

Przykład rozwiązany

Zadanie. Rozwiąż równanie $\log_4 x + \log_2 x = 3$ .

Krok 1 — dziedzina. Argumentem obu logarytmów jest $x$ , więc $x > 0$ . Podstawy $4$ i $2$ są stałe i dozwolone.

Krok 2 — podstawy. Mamy dwie: $4$ i $2$ . Ponieważ $4 = 2$ , wspólną cegłą jest $2$ .

Krok 3 — zamiana. Korzystamy z wniosku $\log_{a$ :

\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2 x

Krok 4 — podstawienie. Niech $t = \log_2 x$ . Równanie przyjmuje postać:

\tfrac{1}{2}t + t = 3 \quad \Longrightarrow \quad \tfrac{3}{2}t = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2

Krok 5 — powrót do $x$ . Z $\log_2 x = 2$ wynika $x = 2$ .

Krok 6 — sprawdzenie. $x = 4 > 0$ , więc należy do dziedziny. Podstawiamy: $\log_4 4 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ . Zgadza się.

Odpowiedź: $x = 4$ .

Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych

Czy wypisałem wszystkie podstawy występujące w zadaniu?
Czy są różne? Jeśli nie — czy wzór jest mi w ogóle potrzebny?
Czy któryś logarytm da się policzyć wprost z definicji?
Czy znalazłem liczbę, której potęgami są wszystkie podstawy?
Jeśli takiej liczby nie ma — czy zadanie wymaga wartości liczbowej, czy tylko zależności?
Czy każda podstawa jest dodatnia i różna od $1$ ?
Czy każdy argument jest dodatni?
Czy zapisałem dziedzinę przed przekształceniami?
Czy w mianowniku stoi logarytm starej podstawy, a nie nowej?
Czy po podstawieniu $t$ pamiętam, że $t$ nie jest odpowiedzią?
Czy sprawdziłem otrzymane rozwiązania w dziedzinie?
Czy podstawiłem wynik do równania wyjściowego?

Mini-praktyka — 8 zadań

Oblicz $\log_8 32$ .
Oblicz $\log_9 27$ .
Oblicz $\log_{1/3} 9$ .
Oblicz $\log_2 3 \cdot \log_3 8$ .
Oblicz $\log_5 2 \cdot \log_2 25$ .
Oblicz $\log_7 49$ .
Wyraź $\log_{25} 7$ przez logarytm o podstawie $5$ .
Rozwiąż równanie $\log_9 x + \log_3 x = 3$ .

Odpowiedzi.

$\dfrac{\log_2 32}{\log_2 8} = \dfrac{5}{3}$
$\dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2}$
$\dfrac{\log_3 9}{\log_3 \frac{1}{3}} = \dfrac{2}{-1} = -2$
$\log_2 3 \cdot \dfrac{\log_2 8}{\log_2 3} = \log_2 8 = 3$
$\log_5 2 \cdot \dfrac{\log_5 25}{\log_5 2} = \log_5 25 = 2$
$2$ — z definicji, bo $7$ . Zamiana podstawy była zbędna; to zadanie sprawdza, czy sięgasz po wzór odruchowo.
$\log_{25} 7 = \dfrac{\log_5 7}{\log_5 25} = \dfrac{1}{2}\log_5 7$
Dziedzina $x > 0$ . Z $\log_9 x = \tfrac{1}{2}\log_3 x$ i podstawienia $t = \log_3 x$ mamy $\tfrac{3}{2}t = 3$ , czyli $t = 2$ i $x = 9$ . Sprawdzenie: $\log_9 9 + \log_3 9 = 1 + 2 = 3$ .

Powtórka w 30 sekund

Wzór $\log_b c = \dfrac{\log_a c}{\log_a b}$ pozwala przeliczyć logarytm na dowolną inną podstawę $a$ . W mianowniku stoi logarytm starej podstawy. Nowa podstawa jest dowolna — wybieraj tę, której potęgami są pozostałe liczby w zadaniu, a do kalkulatora $a = 10$ . Wniosek $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ odwraca logarytm, a $\log_{a$ najczęściej ratuje w równaniach. Warunki: podstawy dodatnie i różne od jedynki, argumenty dodatnie. Wzór masz w tablicach — ćwicz rozpoznawanie sytuacji, nie zapis.

Przykład

Kluczowe pojęcia

Podstawa logarytmu — liczba $a > 0$ , $a \neq 1$ , której potęgi mierzymy logarytmem.
Argument logarytmu — liczba $b > 0$ , której logarytm liczymy; dla $b \le 0$ logarytm nie istnieje.
Zamiana podstawy — przekształcenie $\log_b c = \dfrac{\log_a c}{\log_a b}$ , pozwalające sprowadzić logarytmy o różnych podstawach do wspólnej skali.
Logarytm dziesiętny $\lg$ — logarytm o podstawie $10$ ; jedyny, który liczy kalkulator prosty dopuszczony na maturze.
Zmienna pomocnicza — podstawienie $t = \log_a x$ zamieniające równanie logarytmiczne na algebraiczne.
Pierwiastek obcy — rozwiązanie równania przekształconego, które nie spełnia równania wyjściowego lub wypada poza dziedzinę.

Częste błędy

Odwrócony ułamek. Zapis $\log_b c = \dfrac{\log_a b}{\log_a c}$ jest błędny. W mianowniku zawsze stoi logarytm starej podstawy $b$ . Kontrola: dla $b = c$ wzór musi dać $1$ — sprawdź to na swoim zapisie.
Mylenie ilorazu logarytmów z logarytmem ilorazu. $\dfrac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a \dfrac{x}{y}$ . Pierwsze to zamiana podstawy, drugie to własność działań. Liczbowo: $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$ , a $\log_2 2 = 1$ .
Pominięcie warunku $b \neq 1$ . Gdy stara podstawa równa się $1$ , mianownik $\log_a b$ jest zerem. Przy podstawie z parametrem trzeba ten przypadek wykluczyć osobno.
Odruchowa zamiana podstawy. Widok dwóch logarytmów nie oznacza, że wzór jest potrzebny. $\log_7 49$ liczy się z definicji; $\log_2 x + \log_2 y$ upraszcza się własnością iloczynu.
Mylenie $\dfrac{1}{\log_b a}$ z $\log_b \dfrac{1}{a}$ . Pierwsze to $\log_a b$ , drugie to $-\log_b a$ . Sprawdź na liczbach: $\dfrac{1}{\log_2 8} = \dfrac{1}{3}$ , a $\log_2 \dfrac{1}{8} = -3$ .
Brak sprawdzenia w dziedzinie. Podstawienie $t = \log_a x$ zawsze da wynik dla $t$ , ale nie każdy odpowiadający mu $x$ należy do dziedziny wyjściowej. Dziedzinę zapisujemy przed przekształceniami i wracamy do niej na końcu.

Przykład

Najczęstsze pytania

Czy muszę pamiętać ten wzór na maturze? Nie. Jest w zestawie Wybrane wzory matematyczne, z którego korzystasz na egzaminie. Pamiętać trzeba, kiedy go użyć.

Którą podstawę wybrać, jeśli nie ma oczywistej? Gdy zadanie wymaga liczby — $a = 10$ , bo tylko $\lg$ liczy kalkulator prosty. Gdy wymaga postaci symbolicznej, wybierz podstawę jednego z występujących logarytmów; wtedy jeden z nich zredukuje się do $1$ .

Czy wynik zależy od wybranej podstawy? Nie. Wartość $\log_b c$ jest ustalona; zmienia się tylko droga do niej. Różne wybory $a$ dają ten sam wynik w innej postaci.

Dlaczego argument może być dowolną liczbą dodatnią, a podstawa nie może być jedynką? Bo $1$ podniesione do dowolnej potęgi daje $1$ — nie da się nią „zmierzyć" żadnej innej liczby. Dla podstawy $1$ logarytm nie jest funkcją.

Czy wzór działa dla podstaw ułamkowych? Tak, o ile są dodatnie i różne od $1$ . Na przykład $\log_{1/3} 9 = \dfrac{\log_3 9}{\log_3 \frac{1}{3}} = -2$ . Ujemny wynik jest poprawny — dla podstawy z przedziału $(0,1)$ logarytm maleje.

Skąd wiadomo, że $\log_a b$ i $\log_b a$ są odwrotnościami? To nie osobny wzór, tylko przypadek szczególny: wystarczy w zamianie podstawy przyjąć argument równy nowej podstawie. Licznik staje się wtedy $\log_a a = 1$ .

Status CKE

Zakres: poziom rozszerzony. Podstawa programowa, dział I Liczby rzeczywiste, zakres rozszerzony, punkt 1: stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Tablice: wzór znajduje się w zestawie Wybrane wzory matematyczne, w części dotyczącej logarytmów, wraz z warunkami $a>0$ , $a\neq1$ , $b>0$ , $b\neq1$ , $c>0$ .
Typ zadań: najczęściej element zadania otwartego — obliczenie wartości wyrażenia logarytmicznego albo rozwiązanie równania z logarytmami o różnych podstawach. Rzadziej samodzielne zadanie zamknięte.
Kalkulator: na egzaminie dopuszczony jest kalkulator prosty, który liczy wyłącznie $\lg$ . To praktyczny powód, dla którego przy wartościach liczbowych wybiera się podstawę $10$ .

Ćwicz dalej

Powtórz podstawy: Logarytmy — definicja, własności i obliczenia (MAT.1.1.3) — jeśli własności działań na logarytmach nie są jeszcze automatyczne, wróć tam najpierw.
Dalszy ciąg tematu: Funkcja logarytmiczna — wykres, własności i przekształcenia (MAT.3.3.3) oraz Równania i nierówności logarytmiczne — zastosowania (MAT.3.3.4).
Powtórka maturalna: Równania wykładnicze i logarytmiczne — wszystkie metody (MAT.M.8.1).
Zbiór zadań: kategoria Liczby, potęgi i logarytmy — ćwiczenia z działań na logarytmach. Zadania dotyczące bezpośrednio zamiany podstawy jeszcze się w zbiorze nie znajdują.

Źródła

Podstawa programowa kształcenia ogólnego — matematyka, liceum i technikum, dział I Liczby rzeczywiste, zakres rozszerzony, punkt 1. Publikacja CKE: cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/podstawa_programowa/matematyka.pdf
Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki, Centralna Komisja Egzaminacyjna, część Logarytmy, strona 5. cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/Informatory/wybrane_wzory_matematyczne_EM2023.pdf

W tej lekcji

Postęp:5%

1Zamiana podstawy logarytmu — nie wzór do zapamiętania, tylko decyzja, którą podstawę wybrać
2Po tej lekcji będziesz umieć
3Po co Ci to na maturze
4Intuicja — po co w ogóle zmieniać podstawę
5Wzór i jego założenia
6Którą podstawę wybrać — to jest cała decyzja
7Wniosek: odwracanie logarytmu
8Kiedy NIE zmieniać podstawy
9Solver — jak postępować krok po kroku
10Przykład rozwiązany
11Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
12Mini-praktyka — 8 zadań
13Powtórka w 30 sekund
14Kluczowe pojęcia
15Częste błędy
16Najczęstsze pytania
17Status CKE
18Ćwicz dalej
19Źródła

← Poprzednia lekcja