Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.3›Równania liniowe — rozwiązywanie i zastosowania

Równania liniowe — rozwiązywanie i zastosowania

Klasa 1PodstawaRób to samo po obu stronach

Równanie liniowe to zadanie typu: uporządkuj wyrażenia tak, żeby znaleźć jedną niewiadomą. Najważniejsze jest robienie tych samych operacji po obu stronach i pilnowanie znaków przy przenoszeniu składników.

⏱ ~25 min

Równania liniowe — rozwiązywanie i zastosowania

Po co Ci ten temat?

Równania liniowe są jak śrubokręt w matematyce: mało efektowne, ale używasz ich wszędzie — w zadaniach tekstowych, funkcji liniowej, geometrii, procentach, układach równań, a później przy funkcji kwadratowej. Jeśli umiesz je rozwiązywać spokojnie, krok po kroku, wiele trudniejszych zadań robi się prostszych, bo na końcu i tak zostaje coś w stylu $3x-7=11$ .

Najważniejsza idea w prostych słowach

Równanie mówi: lewa strona ma być równa prawej. Twój cel to zostawić $x$ po jednej stronie, a liczby po drugiej. Postać ogólna równania liniowego:

ax+b=0,\qquad a\neq 0

Najważniejsza reguła: możesz zrobić niemal wszystko, jeśli robisz to samo po obu stronach — dodać/odjąć tę samą liczbę albo pomnożyć/podzielić przez tę samą liczbę różną od zera. Tak powstają równania równoważne (mają ten sam zbiór rozwiązań). Przykład: $2x+5=13 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4$ .

Co zostaje po redukcji (gdy $x$ znika lub zostaje):

\begin{cases} ax=b,\ a\neq 0 & \Rightarrow\ x=\tfrac{b}{a}\ \text{(jedno rozwiązanie)}\\ 0=b,\ b\neq 0 & \Rightarrow\ \text{brak rozwiązań}\\ 0=0 & \Rightarrow\ \text{nieskończenie wiele (każde } x\text{)} \end{cases}

Infografika

Co zostaje po redukcji niewiadomej?

gdy x znika lub zostaje — nie panikuj

ax = b, a≠0

jedno rozwiązanie: x = b/a

0 = b, b≠0

sprzeczność → brak rozwiązań

0 = 0

tożsamość → nieskończenie wiele (każde x)

Sprawdź wynik

podstaw do równania; w zadaniu tekstowym sprawdź sens

Pamiętaj: Rób tę samą operację po obu stronach — to daje równania równoważne. Nie dziel przez wyrażenie z x bez sprawdzenia, czy nie jest zerem.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Jeśli są nawiasy — najpierw je usuń.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (z nawiasem). Rozwiąż 3(x-2)+4=2x+9 : 3x-6+4=2x+9 \;\Rightarrow\; 3x-2=2x+9 \;\Rightarrow\; x=11 Sprawdzenie: lewa =3\cdot 9+4=31 , prawa =2\cdot 11+9=31 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład