Nierówności liniowe — zapis przedziałami i na osi
Nierówność liniowa działa podobnie jak równanie, ale odpowiedzią zwykle jest cały przedział liczb, a nie jedna liczba. Najważniejsza pułapka: przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną zmieniasz znak nierówności.
Po co Ci ten temat?
Nierówności liniowe są potrzebne, gdy odpowiedzią nie jest jedna liczba, tylko zakres możliwości: większe od czegoś, mniejsze od czegoś albo między dwiema liczbami. Wracają przy przedziałach na osi, dziedzinie funkcji, zadaniach z ograniczeniami oraz przy nierównościach kwadratowych i wymiernych w kolejnych działach.
Słownictwo
Najważniejsza idea w prostych słowach
Nierówność mówi nie „ jest równe", lecz „ jest większe/mniejsze". Np. to wszystkie liczby większe od ; zapisujemy je przedziałem .
Reguła specjalna (najważniejsza): gdy mnożysz albo dzielisz nierówność przez liczbę ujemną, odwracasz znak:
Przez liczbę dodatnią — znak zostaje bez zmian.
| Nierówność | Zapis przedziałem | Końcówka na osi |
|---|---|---|
| kółko otwarte, strzałka w prawo | ||
| kółko zamknięte, strzałka w prawo | ||
| kółko otwarte, strzałka w lewo | ||
| kółko zamknięte, strzałka w lewo |
Kiedy odwracam znak nierówności?
to najczęstszy błąd za punkt
Mnożysz/dzielisz przez DODATNIĄ?
znak bez zmian (jak w równaniu)
Mnożysz/dzielisz przez UJEMNĄ?
odwróć znak: < ↔ > • ≤ ↔ ≥
Zapisz wynik
x>… albo x≥… albo x<… albo x≤…
Przedział i oś
< > → kółko otwarte; ≤ ≥ → zamknięte; ∞ zawsze z nawiasem okrągłym
Pamiętaj: Po podzieleniu przez liczbę ujemną zatrzymaj się i sprawdź znak. Nieskończoności nigdy nie domykamy.
Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
1. Rozwiązuj prawie jak równanie — rób to samo po obu stronach.
Przykład
Przykład rozwiązany
Przykład 1 (z odwróceniem znaku). Rozwiąż 5-2x\le 11 : -2x\le 6 \;\Rightarrow\; x\ge -3 \;\Rightarrow\; x\in[-3,\infty) Dzielimy przez -2 , więc znak \le zmienia się na \ge .
Przykład
Typowe pułapki i błędy
- Dzielenie przez liczbę ujemną bez odwrócenia znaku. -2x\le 6 \Rightarrow x\ge -3 — to najczęstszy błąd za punkt.
Jak to wygląda na maturze?
Nierówność liniowa bywa krótkim zadaniem zamkniętym albo elementem większego zadania. Schemat: rozwiąż nierówność → zapisz zbiór rozwiązań przedziałem → czasem wybierz poprawny przedział albo zaznaczenie na osi.
Kluczowe pojęcia
Nierówność liniowa
Nierówność z niewiadomą w pierwszej potędze, np. 2x−5>7
Materiały ZPE
4 materiały