Dział MAT.1.4›Monotoniczność, miejsca zerowe i parzystość funkcji

Monotoniczność, miejsca zerowe i parzystość funkcji

Klasa 1Podstawa + PRCzy wykres idzie w górę?

Własności funkcji to sposób szybkiego opisania jej zachowania: gdzie rośnie, gdzie maleje, gdzie przecina oś OX i czy ma symetrię. W zadaniach najczęściej trzeba to odczytać z wykresu albo rozpoznać z prostego wzoru.

⏱ ~29 min
Monotoniczność, miejsca zerowe i parzystość funkcji

Po co Ci ten temat?

Gdy dostajesz wykres funkcji, często nie musisz znać jej wzoru — wystarczy umieć opisać, co się z funkcją dzieje: czy rośnie, czy maleje, gdzie ma miejsce zerowe i czy jest parzysta. To umiejętności bardzo maturalne: w arkuszu dostajesz sam wykres i kilka odpowiedzi do wyboru, a punkty zdobywa ten, kto czyta wykres spokojnie.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Miejsce zerowe to argument xx, dla którego f(x)=0f(x)=0 (na wykresie: przecięcie z osią OXOX). To argument, a nie punkt (x,0)(x,0).

Monotoniczność mówi, co dzieje się z wartościami, gdy xx idzie w prawo:

rosnąca: x1<x2⇒f(x1)<f(x2),malejąca: x1<x2⇒f(x1)>f(x2)\text{rosnąca: } x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2),\qquad \text{malejąca: } x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)
WłasnośćZ wykresu
rośnieidąc w prawo, wykres w górę
malejeidąc w prawo, wykres w dół
staławykres poziomy

Przedziały monotoniczności zapisujemy po argumentach xx, nie po wartościach yy.

Parzystość i nieparzystość (warunek konieczny: dziedzina symetryczna względem zera):

parzysta: f(−x)=f(x),nieparzysta: f(−x)=−f(x)\text{parzysta: } f(-x)=f(x),\qquad \text{nieparzysta: } f(-x)=-f(x)

Parzysta czy nieparzysta?

warunek: dziedzina symetryczna względem zera

parzysta
nieparzysta
f(−x) = f(x)
1
f(−x) = −f(x)
symetria względem osi OY
2
symetria względem początku układu

Najpierw sprawdź, czy dziedzina jest symetryczna względem 0. Bez tego nie orzekamy parzystości.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Ustal dziedzinę — zakres x pokazany na wykresie.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Funkcja ma miejsca zerowe x=-2 oraz x=4 — to znaczy f(-2)=0 i f(4)=0 , a na wykresie przecina oś OX w punktach (-2,0) i (4,0) . Jeśli od x=-5 do x=1 wykres idzie w górę, funkcja rośnie w (-5,1) ; jeśli potem do x=6 idzie w dół, maleje w…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Rozszerzenie PR — FUN.10: dowodzenie monotoniczności ze wzoru

Na poziomie podstawowym monotoniczność tylko odczytujemy z wykresu. Na rozszerzeniu trzeba ją udowodnić ze wzoru .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Miejsce zerowe jako punkt (3,0) . Miejsce zerowe to argument x=3 (dla którego f(x)=0 ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Najczęściej dostajesz wykres i pytania: podaj miejsce zerowe, określ przedziały rosnące, odczytaj, dla jakich x funkcja przyjmuje wartości dodatnie, wskaż, czy funkcja jest parzysta. Wskazówka maturalna: jeśli pytają „dla jakich argumen…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Monotoniczność

Informacja, czy funkcja rośnie, maleje albo jest stała na danym przedziale

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

3 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:11%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →