Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy O nas Cennik Pomoc

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.4›Wykres z wartością bezwzględną — jedno odbicie, którego nie ma w tablicach

Wykres z wartością bezwzględną — jedno odbicie, którego nie ma w tablicach

Klasa 1RozszerzenieFunkcje

Przekształcenie y = |f(x)| odbija do góry część wykresu leżącą pod osią OX i zostawia resztę bez zmian. Miejsca zerowe i dziedzina pozostają te same, ale w miejscach zmiany znaku powstają ostrza. Łatwo je pomylić z y = f(|x|), które działa na argumenty i daje zupełnie inny wykres.

⏱ ~40 min

Wzorzec

Wykres z wartością bezwzględną — jedno odbicie, którego nie ma w tablicach

Przekształcenie $y=|f(x)|$ jest wyjątkowe wśród maturalnych: nie ma go w zestawie wzorów. Nie da się go odszukać ani podstawić — trzeba rozumieć, co robi z wykresem. A robi jedną rzecz: bierze wszystko, co leży pod osią $OX$ , i odbija do góry. Reszta zostaje nietknięta. Cała trudność polega na tym, żeby nie pomylić go z bliźniaczym $y=f(|x|)$ , które wygląda podobnie w zapisie, a daje zupełnie inny wykres.

Schemat „Wykres z wartością bezwzględną”. Dwa przekształcenia postawione obok siebie. Pierwsze, y równa się wartość bezwzględna z f od x: zostaw bez zmian tę część wykresu, która leży nad osią OX lub na niej, a część leżącą pod osią odbij symetrycznie w górę względem osi OX. Formalnie wartość bezwzględna z f od x równa się f od x, gdy f od x jest nieujemne, oraz minus f od x, gdy f od x jest ujemne. Co zostaje bez zmian: miejsca zerowe, bo tam gdzie f od x równa się zero, wartość bezwzględna też wynosi zero; dziedzina funkcji. Co się zmienia: wykres nigdy nie schodzi pod oś OX, więc zbiór wartości zawiera się w przedziale od zera do nieskończoności; w miejscach zerowych powstają punkty kątowe, czyli ostrza; monotoniczność odwraca się na tych przedziałach, które zostały odbite. Drugie przekształcenie, y równa się f od wartości bezwzględnej z x: zostaw prawą połowę wykresu, czyli część dla x nieujemnego, odrzuć lewą połowę i zastąp ją lustrzanym odbiciem prawej względem osi OY. Wynik jest zawsze funkcją parzystą, a wartość w zerze pozostaje bez zmian. Przykład pokazujący różnicę na tej samej funkcji f od x równej x minus 2: wartość bezwzględna z f od x to wykres litery V o wierzchołku w punkcie 2 i 0, natomiast f od wartości bezwzględnej z x to wykres litery V o wierzchołku w punkcie 0 i minus 2, z miejscami zerowymi w punktach 2 i minus 2. Ta sama funkcja wyjściowa, dwa zupełnie różne wykresy. Kiedy oba przekształcenia dają ten sam wynik: gdy funkcja f jest parzysta, wtedy f od wartości bezwzględnej z x jest równe f od x. Zastosowanie maturalne: liczba rozwiązań równania z parametrem odczytana z wykresu jako liczba punktów wspólnych z prostą poziomą. Granica stosowalności: przekształcenia tego nie ma w zestawie wzorów maturalnych, więc reguły trzeba znać; podstawa programowa wymaga wyłącznie wariantu z wartością bezwzględną na zewnątrz funkcji. Źródło: podstawa programowa — matematyka, dział V Funkcje, zakres rozszerzony, punkt 1. Schemat dydaktyczny NexTutor — materiał wtórny.

Otwórz figurę w nowej karcie ⤢

Przykład

Po tej lekcji będziesz umieć

Naszkicować wykres $y=|f(x)|$ , mając wykres $y=f(x)$
Zapisać $|f(x)|$ wzorem przedziałami i uzasadnić, skąd biorą się przedziały
Wskazać, co przekształcenie zachowuje, a co zmienia
Odróżnić $|f(x)|$ od $f(|x|)$ i pokazać różnicę na konkretnym przykładzie
Rozpoznać sytuację, w której oba przekształcenia dają ten sam wykres
Odczytać z wykresu liczbę rozwiązań równania $|f(x)|=m$ w zależności od $m$

Po co Ci to na maturze

To wymaganie poziomu rozszerzonego — podstawa programowa, dział V Funkcje, zakres rozszerzony, punkt 1: na podstawie wykresu funkcji $y=f(x)$ rysuje wykres funkcji $y=|f(x)|$ .

Poziom podstawowy obejmuje cztery inne przekształcenia, wymienione w punkcie 12 zakresu podstawowego tego samego działu: $y=f(x-a)$ , $y=f(x)+b$ , $y=-f(x)$ oraz $y=f(-x)$ . Wartość bezwzględna jest piątym i jedynym zarezerwowanym dla rozszerzenia.

To przekształcenie, którego nie odszukasz. Zestaw Wybrane wzory matematyczne zawiera wzory funkcji, ale nie zawiera reguł przekształcania wykresów. Przy logarytmach czy wzorach Viète'a możesz zajrzeć do tablic; tutaj nie ma czego szukać i regułę trzeba po prostu znać.

Najczęstsze zastosowanie to zadanie o liczbie rozwiązań równania z parametrem — rysujesz wykres i liczysz punkty wspólne z prostą poziomą.

Wprowadzenie

Intuicja — co wartość bezwzględna robi z wykresem

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera, więc nigdy nie jest ujemna. Jeżeli nakładamy ją na wartości funkcji, to znaczy na współrzędne $y$ , efekt jest jeden: żadna wartość nie może zostać ujemna.

Punkt wykresu leżący nad osią $OX$ ma dodatnią współrzędną $y$ — wartość bezwzględna go nie rusza. Punkt leżący pod osią ma $y$ ujemne — wartość bezwzględna zamienia je na liczbę przeciwną, czyli przenosi punkt na drugą stronę osi, na tę samą wysokość.

To właśnie jest odbicie symetryczne względem osi $OX$ , ale wykonane tylko na tej części wykresu, która leży poniżej.

Obrazowo: wykres $|f(x)|$ powstaje z $f(x)$ tak, jakby oś $OX$ była lustrem działającym wyłącznie od dołu.

Reguła i jej uzasadnienie

Formalnie przekształcenie wynika wprost z definicji wartości bezwzględnej:

|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{gdy } f(x)\geq 0\\[2pt] -f(x), & \text{gdy } f(x)<0 \end{cases}

Pierwszy wiersz to „nie ruszaj", drugi to „odbij". Nic ponadto.

Przykład zapisu przedziałami. Dla $f(x)=2x+4$ najpierw ustalamy, kiedy funkcja jest nieujemna: $2x+4\geq 0$ daje $x\geq -2$ . Stąd:

|2x+4| = \begin{cases} 2x+4, & \text{gdy } x\geq -2\\[2pt] -2x-4, & \text{gdy } x<-2 \end{cases}

Sprawdzenie: dla $x=-3$ wzór drugi daje $-2(-3)-4=2$ , i rzeczywiście $|2\cdot(-3)+4|=|-2|=2$ .

Kolejność jest ważna. Najpierw rozwiązujemy nierówność $f(x)\geq 0$ , dopiero potem piszemy wzory. Zgadywanie przedziałów „na oko" jest najczęstszym źródłem błędu w tym temacie.

Słownictwo

Co zostaje, a co się zmienia

własność	po przekształceniu	dlaczego
dziedzina	bez zmian	nie ruszamy argumentów, tylko wartości
miejsca zerowe	bez zmian	jeśli $f(x)=0$ , to $
zbiór wartości	zawarty w $\langle 0,+\infty)$	wartość bezwzględna nie bywa ujemna
monotoniczność	odwraca się na odbitych przedziałach	rosnąca część pod osią staje się malejąca
gładkość wykresu	w miejscach zerowych powstają ostrza	dwa ramiona spotykają się pod kątem

Ostatni wiersz jest niedoceniany, a bywa treścią zadania. W punkcie, w którym $f$ przechodzi przez zero zmieniając znak, wykres $|f(x)|$ ma punkt kątowy — nie da się w nim poprowadzić jednej stycznej. Jeżeli natomiast $f$ tylko dotyka osi, nie zmieniając znaku, żadnego ostrza nie ma, bo nie ma czego odbijać.

Słownictwo

Bliźniacze przekształcenie $y=f(|x|)$ — i czym się różni

Tu wartość bezwzględna stoi w argumencie, nie na zewnątrz. Zmienia więc nie wartości, lecz to, z jakiego miejsca je pobieramy.

Ponieważ $|x|$ dla $x<0$ daje liczbę dodatnią, funkcja „sięga" po wartości wyłącznie z prawej strony. Reguła brzmi: zostaw prawą połowę wykresu i odbij ją lustrzanie na lewo względem osi $OY$ . Lewa połowa oryginału zostaje odrzucona.

Wynik jest zawsze funkcją parzystą, symetryczną względem osi $OY$ .

Porównanie na tej samej funkcji $f(x)=x-2$ :

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\lvert f(x)\rvert=\lvert x-2\rvert$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$
$f(\lvert x\rvert)=\lvert x\rvert-2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-1$	$0$	$1$

Oba wykresy są literą $V$ , ale pierwszy ma wierzchołek w $(2,0)$ i ani jednego punktu pod osią, a drugi wierzchołek w $(0,-2)$ i dwa miejsca zerowe, w $-2$ i $2$ . Ta sama funkcja wyjściowa, dwa zupełnie różne rysunki.

Na maturze obowiązuje tylko $|f(x)|$ . Wariant $f(|x|)$ nie jest wymieniony w podstawie i pokazujemy go tutaj wyłącznie po to, żebyś nie pomylił zapisów. Pomyłka jest łatwa i kosztowna, bo prowadzi do poprawnie narysowanego wykresu nie tej funkcji.

Kiedy oba przekształcenia dają to samo

Gdy $f$ jest funkcją parzystą, czyli $f(-x)=f(x)$ , przekształcenie $f(|x|)$ niczego nie zmienia — prawa połowa odbita na lewo pokrywa się z tym, co tam już było.

Przykład. Dla $f(x)=x$ mamy $f(|x|)=|x|^2-4=x$ , bo $|x|^2=x$ dla każdego $x$ .

Natomiast $|f(x)|=|x$ jest czymś zupełnie innym: parabola z fragmentem między $-2$ a $2$ odbitym do góry, z wierzchołkiem odbitego łuku w punkcie $(0,4)$ i dwoma ostrzami w $x=-2$ i $x=2$ .

To dobry test zrozumienia: jedno przekształcenie nie zrobiło nic, drugie zmieniło wykres nie do poznania.

Słownictwo

Zastosowanie: liczba rozwiązań równania $|f(x)|=m$

Najczęstsze zadanie maturalne z tego tematu nie każe rysować wykresu dla samego rysowania — każe odczytać z niego liczbę rozwiązań.

Równanie $|f(x)|=m$ ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych ma wykres $y=|f(x)|$ z prostą poziomą $y=m$ .

Przykład. Rozważmy $|x$ . Wykres to parabola $x$ z łukiem między $-2$ a $2$ odbitym do góry; najwyższy punkt odbitego łuku leży na wysokości $4$ .

$m$	liczba rozwiązań	dlaczego
$m<0$	$0$	wartość bezwzględna nie bywa ujemna
$m=0$	$2$	prosta trafia w oba ostrza, $x=-2$ i $x=2$
$0<m<4$	$4$	prosta przecina dwa zewnętrzne ramiona i odbity łuk w dwóch punktach
$m=4$	$3$	prosta dotyka wierzchołka odbitego łuku w $x=0$ i przecina ramiona w $\pm 2\sqrt{2}$
$m>4$	$2$	odbity łuk jest już niżej, zostają same ramiona

Wiersz z $m=4$ jest tym, na którym rozstrzygają się punkty: liczba rozwiązań spada z czterech do dwóch, ale nie od razu — po drodze jest wartość, dla której są dokładnie trzy.

Solver — jak postępować krok po kroku

Ustal, czy wartość bezwzględna stoi na zewnątrz, czy w argumencie. $|f(x)|$ działa na wartości, $f(|x|)$ na argumenty. To rozstrzyga wszystko dalej.
Narysuj albo wyobraź sobie wykres wyjściowy $y=f(x)$ , bez wartości bezwzględnej.
Zaznacz miejsca zerowe — to one wyznaczają granice fragmentów do odbicia.
Sprawdź znak $f$ na każdym przedziale między miejscami zerowymi. Wystarczy jedna wartość próbna z każdego przedziału.
Odbij do góry te fragmenty, na których $f(x)<0$ . Pozostałe zostaw bez zmian.
Zaznacz ostrza w tych miejscach zerowych, w których funkcja zmieniała znak.
Jeżeli zadanie prosi o wzór, zapisz go przedziałami, korzystając z rozwiązanej w kroku 4 nierówności $f(x)\geq 0$ .
Jeżeli zadanie pyta o liczbę rozwiązań, dorysuj prostą poziomą $y=m$ i policz punkty wspólne, przesuwając ją myślowo z góry na dół.
Sprawdź wynik w jednym punkcie. Podstaw konkretną liczbę do wzoru i porównaj z odczytem z wykresu.

Krok 9 zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje najczęstszy błąd — odbicie niewłaściwego fragmentu.

Przykład

Przykład rozwiązany

Zadanie. Dana jest funkcja $f(x)=x$ . Naszkicuj wykres funkcji $y=|f(x)|$ , a następnie wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $|f(x)|=m$ ma dokładnie trzy rozwiązania.

Krok 1 — rodzaj przekształcenia. Wartość bezwzględna stoi na zewnątrz, więc działamy na wartościach: odbijamy część wykresu leżącą pod osią.

Krok 2–3 — wykres wyjściowy i miejsca zerowe. $f(x)=x$ to parabola o ramionach w górę i wierzchołku $(0,-4)$ . Miejsca zerowe: $x$ , czyli $x=-2$ oraz $x=2$ .

Krok 4 — znaki. Dla $x<-2$ oraz $x>2$ funkcja jest dodatnia. Dla $-2<x<2$ jest ujemna — sprawdzenie w punkcie $x=0$ : $f(0)=-4<0$ .

Krok 5 — odbicie. Fragment między $-2$ a $2$ odbijamy do góry. Wierzchołek $(0,-4)$ przechodzi w $(0,4)$ . Ramiona na zewnątrz zostają bez zmian.

Krok 6 — ostrza. W $x=-2$ i $x=2$ funkcja zmieniała znak, więc w obu punktach wykres $|f(x)|$ ma ostrza.

Krok 8 — prosta pozioma. Przesuwamy prostą $y=m$ z góry na dół i liczymy punkty wspólne. Kluczowa jest wysokość $4$ — wierzchołek odbitego łuku:

powyżej $4$ : prosta przecina tylko dwa zewnętrzne ramiona → 2 rozwiązania,
dokładnie $4$ : prosta dotyka wierzchołka odbitego łuku i przecina ramiona → 3 rozwiązania,
między $0$ a $4$ : przecina ramiona i odbity łuk dwukrotnie → 4 rozwiązania.

Krok 9 — sprawdzenie rachunkiem. Dla $m=4$ rozwiązujemy wprost. Równanie $|x$ rozpada się na dwa:

x

x

Razem trzy różne rozwiązania: $-2\sqrt{2}$ , $0$ , $2\sqrt{2}$ . Zgadza się z odczytem.

Odpowiedź. $m=4$ .

Gdzie rozstrzygają się punkty. Kto narysuje wykres poprawnie, odczyta odpowiedź w kilka sekund. Kto spróbuje rozwiązać równanie z parametrem algebraicznie, bez rysunku, musi osobno rozważyć dwa przypadki i pilnować, kiedy rozwiązania się pokrywają — droga znacznie dłuższa i łatwiejsza do zgubienia.

Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych

Czy wartość bezwzględna stoi na zewnątrz funkcji, czy w argumencie?
Czy narysowałem najpierw wykres wyjściowy, bez wartości bezwzględnej?
Czy wyznaczyłem wszystkie miejsca zerowe funkcji $f$ ?
Czy sprawdziłem znak $f$ na każdym przedziale między nimi?
Czy odbiłem wyłącznie te fragmenty, na których $f(x)<0$ ?
Czy fragmenty nad osią zostawiłem nietknięte?
Czy wykres po przekształceniu w żadnym miejscu nie schodzi pod oś $OX$ ?
Czy miejsca zerowe pozostały te same co przed przekształceniem?
Czy zaznaczyłem ostrza tam, gdzie funkcja zmieniała znak?
Jeżeli zadanie prosi o wzór — czy zapisałem go przedziałami z poprawnymi warunkami?
Jeżeli pytano o liczbę rozwiązań — czy rozważyłem także wartości graniczne $m$ , a nie tylko przedziały?
Czy sprawdziłem wynik, podstawiając jedną konkretną liczbę?

Wzorzec

Mini-praktyka — 8 zadań

Naszkicuj $y=|x-3|$ i podaj współrzędne wierzchołka oraz miejsce zerowe.
Naszkicuj $y=|x|-3$ i podaj współrzędne wierzchołka oraz miejsca zerowe.
Zapisz $|2x+4|$ wzorem przedziałami.
Ile rozwiązań ma równanie $|x$ ?
Ile rozwiązań ma równanie $|x$ ?
Czy wykres funkcji $y=|f(x)|$ może mieć punkt leżący pod osią $OX$ ?
Dla $f(x)=x$ porównaj wykresy $|f(x)|$ oraz $f(|x|)$ .
Podaj zbiór wartości funkcji $y=|\sin x|$ .

Odpowiedzi.

Litera $V$ o wierzchołku $(3,0)$ ; miejsce zerowe $x=3$ . Wartość bezwzględna stoi na zewnątrz, więc wykres $y=x-3$ odbijamy do góry na przedziale $x<3$ .
Litera $V$ o wierzchołku $(0,-3)$ ; miejsca zerowe $x=-3$ oraz $x=3$ . Tu wartość bezwzględna jest w argumencie, więc prawą połowę wykresu $y=x-3$ odbijamy na lewo względem osi $OY$ .
$|2x+4|=2x+4$ dla $x\geq -2$ oraz $-2x-4$ dla $x<-2$ . Przedziały biorą się z nierówności $2x+4\geq 0$ .
Cztery. Równanie rozpada się na $x$ , skąd $x=\pm\sqrt{7}$ , oraz $x$ , skąd $x=\pm 1$ .
Trzy. Z $x$ mamy $x=\pm 2\sqrt{2}$ , a z $x$ tylko $x=0$ . Wartość $m=4$ jest graniczna.
Nie. Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc cały wykres leży na osi $OX$ lub nad nią.
$f(|x|)=|x|^2-4=x$ — przekształcenie niczego nie zmienia, bo $f$ jest parzysta. Natomiast $|f(x)|=|x$ ma fragment między $-2$ a $2$ odbity do góry, wierzchołek odbitego łuku w $(0,4)$ i dwa ostrza.
$\langle 0,1\rangle$ . Funkcja $\sin x$ przyjmuje wartości z $\langle -1,1\rangle$ , a wartość bezwzględna zamienia ujemne na dodatnie, zachowując moduł.

Powtórka w 30 sekund

Przekształcenie $y=|f(x)|$ odbija do góry tę część wykresu, która leży pod osią $OX$ , i zostawia resztę bez zmian — bo $|f(x)|$ równa się $f(x)$ tam, gdzie funkcja jest nieujemna, i $-f(x)$ tam, gdzie jest ujemna. Dziedzina i miejsca zerowe pozostają te same, zbiór wartości wpada do $\langle 0,+\infty)$ , a w miejscach zmiany znaku powstają ostrza. Bliźniacze $y=f(|x|)$ działa inaczej: zostawia prawą połowę wykresu i odbija ją na lewo, dając funkcję parzystą. Dla funkcji parzystych to drugie przekształcenie nie zmienia nic. Liczbę rozwiązań równania $|f(x)|=m$ odczytuje się jako liczbę punktów wspólnych wykresu z prostą poziomą $y=m$ , pamiętając o wartościach granicznych.

Przykład

Kluczowe pojęcia

Wartość bezwzględna — odległość liczby od zera; nigdy nie jest ujemna, stąd $|a|=a$ dla $a\geq 0$ oraz $|a|=-a$ dla $a<0$ .
Przekształcenie $y=|f(x)|$ — odbicie symetryczne względem osi $OX$ , wykonane wyłącznie na fragmentach wykresu leżących pod tą osią.
Przekształcenie $y=f(|x|)$ — zachowanie prawej połowy wykresu i odbicie jej względem osi $OY$ ; wynik jest zawsze funkcją parzystą.
Punkt kątowy (ostrze) — punkt wykresu, w którym dwa ramiona spotykają się pod kątem; powstaje w miejscu zerowym, w którym funkcja zmieniała znak.
Funkcja parzysta — funkcja spełniająca $f(-x)=f(x)$ ; jej wykres jest symetryczny względem osi $OY$ , więc przekształcenie $f(|x|)$ go nie zmienia.
Równanie z parametrem — równanie typu $|f(x)|=m$ , w którym pytamy o liczbę rozwiązań w zależności od $m$ ; rozwiązuje się je odczytem z wykresu.

Częste błędy

Pomylenie $|f(x)|$ z $f(|x|)$ . Dlaczego źle: pierwsze odbija dół do góry względem osi $OX$ , drugie kopiuje prawą połowę na lewo względem osi $OY$ ; dla $f(x)=x-2$ dają wykresy o wierzchołkach w $(2,0)$ i $(0,-2)$ . Poprawnie: sprawdzić, czy kreski obejmują całą funkcję, czy tylko $x$ .
Odbicie całego wykresu zamiast samego fragmentu. Dlaczego źle: część leżąca nad osią ma już wartości nieujemne i wartość bezwzględna jej nie rusza; odbicie wszystkiego daje wykres $-f(x)$ . Poprawnie: odbijać wyłącznie tam, gdzie $f(x)<0$ .
Zgadywanie przedziałów zamiast rozwiązania nierówności. Dlaczego źle: przy wzorze przedziałami granice biorą się z warunku $f(x)\geq 0$ , a nie z wyglądu wzoru; dla $2x+4$ granicą jest $-2$ , nie $0$ . Poprawnie: najpierw rozwiązać nierówność, potem pisać wzory.
Przekonanie, że miejsca zerowe się zmieniają. Dlaczego źle: jeśli $f(x)=0$ , to $|f(x)|=0$ , więc punkty przecięcia z osią $OX$ zostają dokładnie te same. Poprawnie: miejsca zerowe traktować jako punkty stałe przekształcenia i używać ich jako granic odbicia.
Pominięcie wartości granicznych przy liczbie rozwiązań. Dlaczego źle: dla $|x$ odpowiedź „ $4$ rozwiązania dla $0<m<4$ , $2$ dla $m>4$ " gubi przypadek $m=4$ , w którym rozwiązania są trzy. Poprawnie: osobno rozpatrzyć każdą wysokość charakterystyczną wykresu.
Szukanie reguły w tablicach. Dlaczego źle: zestaw wzorów maturalnych nie zawiera przekształceń wykresów; czas stracony na kartkowanie to czas odjęty od zadania. Poprawnie: znać regułę na pamięć — to jedno zdanie.

Przykład

Najczęstsze pytania

Czy ta reguła jest w tablicach maturalnych? Nie. Zestaw Wybrane wzory matematyczne zawiera wzory funkcji i wielkości, ale nie reguły przekształcania wykresów. To jedno z niewielu zagadnień, których trzeba się nauczyć, bo nie ma gdzie zajrzeć.

Czy na maturze obowiązuje też $f(|x|)$ ? Podstawa programowa wymienia wyłącznie $y=|f(x)|$ . Wariant $f(|x|)$ pokazujemy dla kontrastu, żeby nie mylić zapisów — a nie dlatego, że jest wymagany.

Co się dzieje, gdy funkcja tylko dotyka osi $OX$ , nie przechodząc na drugą stronę? Wtedy nie ma czego odbijać i wykres $|f(x)|$ pokrywa się z $f(x)$ w otoczeniu tego punktu. Nie powstaje też ostrze — ostrza biorą się ze zmiany znaku, a nie z samego zera.

Czy po przekształceniu funkcja może być nadal malejąca na całym przedziale? Tak, jeżeli na tym przedziale $f$ była nieujemna i malejąca — wtedy nic się nie zmienia. Monotoniczność odwraca się wyłącznie na fragmentach, które zostały odbite.

Jak szybko sprawdzić, czy narysowałem dobrze? Wybierz jeden argument, dla którego $f$ było ujemne, policz $|f(x)|$ ze wzoru i sprawdź, czy punkt na rysunku leży na tej wysokości nad osią. Jedno podstawienie rozstrzyga.

Czy zbiór wartości $|f(x)|$ to zawsze $\langle 0,+\infty)$ ? Nie, to tylko zbiór, w którym się zawiera. Rzeczywisty zbiór wartości zależy od funkcji — dla $y=|\sin x|$ jest to $\langle 0,1\rangle$ , a dla $y=|x$ po prostu $\langle 1,+\infty)$ , bo ta funkcja nigdy nie schodzi pod oś i przekształcenie jej nie zmienia.

Status CKE

Wymaganie należy do zakresu rozszerzonego (podstawa programowa, dział V Funkcje, zakres rozszerzony, punkt 1). Zakres podstawowy obejmuje cztery inne przekształcenia — $y=f(x-a)$ , $y=f(x)+b$ , $y=-f(x)$ , $y=f(-x)$ — wymienione w punkcie 12 zakresu podstawowego tego samego działu.

Zestaw Wybrane wzory matematyczne nie zawiera reguł przekształcania wykresów, więc reguła musi być znana z pamięci. Jest to różnica wobec większości zagadnień maturalnych, gdzie wzór można odszukać.

Na arkuszu rozszerzonym zagadnienie pojawia się najczęściej jako zadanie o liczbie rozwiązań równania z parametrem, rozwiązywane odczytem z wykresu, rzadziej jako polecenie naszkicowania wykresu i podania własności. Bywa też krokiem pośrednim w zadaniu o nierównościach z wartością bezwzględną.

Punktacja i forma zadania zależą od konkretnego arkusza — szczegóły sprawdzaj w Informatorze i w komunikatach CKE dla właściwego roku.

Ćwicz dalej

Sprawdzian z tej lekcji — zakładki quiz i fiszki powyżej sprawdzają rozróżnienie obu przekształceń i wartości graniczne parametru.
Lekcja poprzedzająca: Wartość bezwzględna — definicja i równania (MAT.1.1.4) — stamtąd pochodzi definicja przedziałami, na której opiera się cała reguła.
Lekcja pokrewna: Monotoniczność, miejsca zerowe i parzystość funkcji (MAT.1.4.2) — parzystość wyjaśnia, dlaczego dla niektórych funkcji przekształcenie $f(|x|)$ nie zmienia nic.

Źródła

Ministerstwo Edukacji Narodowej, Podstawa programowa kształcenia ogólnego — matematyka, szkoła ponadpodstawowa, dział V. Funkcje, zakres rozszerzony, pkt 1 oraz zakres podstawowy pkt 12.
Centralna Komisja Egzaminacyjna, Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki — sprawdzone: zestaw nie zawiera reguł przekształcania wykresów.
Schemat dydaktyczny i figura — materiał własny NexTutor. Wszystkie wyniki liczbowe zweryfikowane rachunkiem niezależnym, w tym pełna analiza liczby rozwiązań równania $|x$ dla wszystkich zakresów parametru.

← Poprzednia lekcja