Dział MAT.2.1›Wykres funkcji kwadratowej — parabola i jej własności

Wykres funkcji kwadratowej — parabola i jej własności

Klasa 2PodstawaParabola i własności funkcji

Funkcja kwadratowa ma wykres w kształcie paraboli, a znak współczynnika a mówi, czy ramiona idą w górę czy w dół. W zadaniach najczęściej trzeba szybko odczytać z wykresu wierzchołek, miejsca zerowe, zbiór wartości i monotoniczność.

⏱ ~26 min
Wykres funkcji kwadratowej — parabola i jej własności

Po co Ci ten temat?

Funkcja kwadratowa wraca w drugiej klasie bardzo często: przy równaniach, nierównościach, zadaniach optymalizacyjnych i na maturze. Jeśli rozumiesz parabolę jako wykres, a nie tylko zbiór wzorów, łatwiej wybierzesz metodę rozwiązania. Uczniowie tracą tu punkty nie dlatego, że nie znają wzorów, tylko dlatego, że nie umieją odczytać sensu wykresu.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Funkcja kwadratowa ma postać (wykresem jest parabola):

f(x)=ax2+bx+c,a≠0f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0

Wierzchołek to najważniejszy punkt paraboli:

xw=−b2a,yw=−Δ4a,Δ=b2−4acx_w=-\frac{b}{2a},\qquad y_w=-\frac{\Delta}{4a},\qquad \Delta=b^2-4ac

Oś symetrii to pionowa prosta x=xwx=x_w.

ElementZnaczenie
a>0a>0ramiona w górę → wierzchołek to minimum
a<0a<0ramiona w dół → wierzchołek to maksimum
ccf(0)=cf(0)=c, czyli przecięcie z osią OYOY w (0,c)(0,c) — nie miejsce zerowe
miejsca zeroweprzecięcia z osią OXOX; ich liczba zależy od Δ\Delta

Liczba miejsc zerowych: Δ>0\Delta>0 → dwa, Δ=0\Delta=0 → jedno, Δ<0\Delta<0 → brak.

Zbiór wartości:

a>0: [ yw,∞),a<0: (−∞, yw ]a>0:\ [\,y_w,\infty),\qquad a<0:\ (-\infty,\,y_w\,]

Monotoniczność (wierzchołek dzieli parabolę na dwie części):

a>0: maleje na (−∞,xw], rosˊnie na [xw,∞)a>0:\ \text{maleje na }(-\infty,x_w],\ \text{rośnie na }[x_w,\infty) a<0: rosˊnie na (−∞,xw], maleje na [xw,∞)a<0:\ \text{rośnie na }(-\infty,x_w],\ \text{maleje na }[x_w,\infty)

a > 0 vs a < 0

znak a decyduje o kształcie paraboli

a > 0
a < 0
ramiona w górę
1
ramiona w dół
wierzchołek to MINIMUM
2
wierzchołek to MAKSIMUM
zbiór wartości [y_w, ∞)
3
zbiór wartości (−∞, y_w]

Najpierw policz wierzchołek (x_w=−b/2a, y_w=−Δ/4a) — daje oś symetrii, zbiór wartości i monotoniczność.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Sprawdź, czy funkcja jest kwadratowa ( a\neq 0 ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 ( a 0 ). Zbadaj f(x)=x^2-4x+3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Typowe pułapki i błędy

- „ c to miejsce zerowe". FAŁSZ — c=f(0) , to przecięcie z osią OY w (0,c) ; miejsca zerowe leżą na osi OX (mają y=0 ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Często dostajesz wykres paraboli i odczytujesz własności bez długiego liczenia: zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności albo rozwiązania nierówności f(x) 0 . Jeśli pomylisz oś OX z osią OY , całe zadanie może się rozs…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Funkcja kwadratowa

Funkcja postaci f(x)=ax²+bx+c, gdzie a jest różne od zera

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Powrót do działuNastępna lekcja →