Równania i nierówności z parametrem

Parametr to litera oznaczająca dowolną stałą ($m$, $a$, $k$). Równanie kwadratowe z parametrem zapisujemy ogólnie:

$$a x^2 + b x + c = 0$$

Przykładowo $x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ to nie jedno równanie, lecz rodzina równań — jedno dla każdego $m$.

O liczbie pierwiastków decyduje wyróżnik (delta) zależny od parametru:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$ $$\begin{cases} \Delta > 0 & \text{dwa różne pierwiastki rzeczywiste}\\ \Delta = 0 & \text{jeden pierwiastek podwójny}\\ \Delta < 0 & \text{brak pierwiastków rzeczywistych} \end{cases}$$

Warunek krytyczny — współczynnik przy $x^2$ z parametrem. Gdy przy $x^2$ stoi wyrażenie zależne od parametru, np. $a(m)$, najpierw sprawdź, kiedy się zeruje:

$$a(m) = 0$$

Dla takiego $m$ równanie przestaje być kwadratowe (staje się liniowe albo sprzeczne/tożsamościowe) — ten przypadek rozpatrujemy osobno, zanim policzymy deltę.

Znaki pierwiastków bez ich liczenia dają wzory Viète'a:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

Stąd warunki na położenie pierwiastków (zawsze razem z $\Delta>0$):

Nierówność kwadratowa z parametrem wymaga jeszcze więcej ostrożności — kolejność jest sztywna: najpierw sprawdź $a(m)=0$ (czy to wciąż parabola), potem policz $\Delta(m)$, a dopiero na końcu znak paraboli (ramiona w górę dla $a>0$, w dół dla $a<0$) i odczytaj przedziały. Gdy dzielisz obie strony przez wyrażenie z parametrem, pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy dzielniku ujemnym.