Wzory Viète’a — co policzysz, nie licząc pierwiastków

Klasa 2RozszerzenieWzory Viète’a

Wzory Viète’a wiążą współczynniki równania kwadratowego z sumą i iloczynem jego pierwiastków, ale wolno je napisać dopiero po sprawdzeniu warunku Δ ≥ 0. Każde wyrażenie symetryczne względem pierwiastków — i ich znaki — daje się wtedy wyznaczyć bez liczenia samych pierwiastków.

⏱ ~35 min

Wzorzec

Wzory Viète’a — co policzysz, nie licząc pierwiastków

Równanie $x$ ma pierwiastki $2+\sqrt{3}$ i $2-\sqrt{3}$ . Ich suma to $4$ , iloczyn to $1$ — obie liczby całkowite, obie widoczne w równaniu, zanim policzysz deltę. To nie przypadek. Wzory Viète’a wiążą współczynniki równania z sumą i iloczynem jego pierwiastków, a przez to pozwalają odpowiedzieć na wiele pytań maturalnych bez wyznaczania samych pierwiastków. Cała lekcja opiera się na jednym warunku, który trzeba sprawdzić, zanim się je napisze: $\Delta \geq 0$ .

Schemat „Zanim napiszesz Viète’a”. Wzory Viète’a dla równania kwadratowego, poziom rozszerzony. Bramka wejściowa: najpierw policz wyróżnik Δ = b² − 4ac; jeżeli Δ ≥ 0, wzory wolno stosować, jeżeli Δ < 0, pierwiastków rzeczywistych nie ma i wzory nie znaczą nic. Po przejściu bramki dwa wzory: suma s = x₁ + x₂ = −b/a oraz iloczyn p = x₁ · x₂ = c/a, przy założeniu a różne od zera. Skąd się biorą: dla Δ ≥ 0 trójmian zapisuje się w postaci iloczynowej a(x − x₁)(x − x₂), a po wymnożeniu jego współczynniki muszą zgadzać się z ax² + bx + c. Katalog przekształceń, czyli wszystko przez s i p: x₁² + x₂² = s² − 2p; x₁³ + x₂³ = s³ − 3ps; 1/x₁ + 1/x₂ = s/p przy p różnym od zera; (x₁ − x₂)² = s² − 4p = Δ/a²; wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równa się pierwiastek z Δ podzielony przez wartość bezwzględną a. Znaki pierwiastków bez ich liczenia: oba dodatnie gdy Δ ≥ 0, s > 0 i p > 0; oba ujemne gdy Δ ≥ 0, s < 0 i p > 0; różne znaki gdy p < 0, co samo z siebie daje już Δ > 0 i nie wymaga osobnego warunku; jeden pierwiastek zerowy gdy p = 0. Zadanie odwrotne: mając sumę s i iloczyn p, równanie o takich pierwiastkach to t² − st + p = 0, istnieje ono w liczbach rzeczywistych tylko gdy s² − 4p ≥ 0. Kontrola wyniku: wstaw znalezioną wartość parametru z powrotem do wyróżnika i sprawdź, czy warunek Δ ≥ 0 jest spełniony — rozwiązanie, które go łamie, trzeba odrzucić. Granica: wzory Viète’a dotyczą wyłącznie równań kwadratowych o a różnym od zera i nie pozwalają wyznaczyć pojedynczego pierwiastka, tylko wyrażenia symetryczne względem obu. Źródło wzorów: Centralna Komisja Egzaminacyjna, „Wybrane wzory matematyczne” na egzamin maturalny z matematyki, dział 7 Funkcja kwadratowa, strona 9. Zakres: podstawa programowa — matematyka, dział III Równania i nierówności, zakres rozszerzony, punkt 3. Schemat dydaktyczny NexTutor — materiał wtórny.

Otwórz figurę w nowej karcie ⤢

Przykład

Po tej lekcji będziesz umieć

Sprawdzić, czy wzory Viète’a wolno w danym zadaniu w ogóle napisać
Wyznaczyć sumę i iloczyn pierwiastków wprost ze współczynników równania
Obliczyć wyrażenia symetryczne — $x$ , $x$ , $\frac{1}{x$ , $|x$ — bez wyznaczania pierwiastków
Określić znaki pierwiastków na podstawie znaków sumy i iloczynu
Ułożyć równanie kwadratowe o zadanej sumie i zadanym iloczynie pierwiastków
Odrzucić te wartości parametru, które łamią warunek $\Delta \geq 0$

Po co Ci to na maturze

To wymaganie poziomu rozszerzonego — podstawa programowa, dział III, zakres rozszerzony, punkt 3: stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych. Na poziomie podstawowym równania kwadratowe rozwiązuje się przez deltę i postać iloczynową; suma i iloczyn pierwiastków nie są tam wymagane.

Na rozszerzeniu wzory Viète’a pojawiają się prawie wyłącznie w zadaniach z parametrem, w schemacie: „wyznacz wszystkie wartości $m$ , dla których pierwiastki spełniają warunek…”. Są też narzędziem awaryjnym wszędzie tam, gdzie pierwiastki są niewymierne, a pytanie dotyczy wyrażenia symetrycznego — liczenie ich wtedy wprost prowadzi do rachunku na pierwiastkach zamiast na liczbach całkowitych.

Oba wzory są w zestawie Wybrane wzory matematyczne, w dziale 7. Funkcja kwadratowa, razem z warunkiem $\Delta \geq 0$ . Egzamin nie sprawdza, czy je pamiętasz — sprawdza, czy sprawdzisz założenie, zanim ich użyjesz.

Wprowadzenie

Intuicja — dlaczego współczynniki „wiedzą” o pierwiastkach

Weź równanie kwadratowe, które ma pierwiastki x 1 i x 2 . Wtedy trójmian rozkłada się na czynniki: ax^2+bx+c = a(x-x 1)(x-x 2) Wymnóż prawą stronę: a(x-x 1)(x-x 2) = ax^2 - a(x 1+x 2)\,x + a\,x 1x 2 Dwa wielomiany są równe dokładnie wtedy, gdy mają równe w…

Wzory Viète’a — co policzysz, nie licząc pierwiastków

Wzory Viète’a — co policzysz, nie licząc pierwiastków

Po tej lekcji będziesz umieć

Po co Ci to na maturze

Intuicja — dlaczego współczynniki „wiedzą” o pierwiastkach

Warunek $\Delta \geq 0$ — kiedy wolno napisać te wzory

Katalog przekształceń — wszystko sprowadza się do $s$ i $p$

Znaki pierwiastków bez ich liczenia

Zadanie odwrotne — ułóż równanie o danych pierwiastkach

Solver — jak postępować krok po kroku

Przykład rozwiązany

Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych

Mini-praktyka — 8 zadań

Powtórka w 30 sekund

Kluczowe pojęcia

Częste błędy

Najczęstsze pytania

Status CKE

Ćwicz dalej

Źródła