Dział MAT.2.2›Wielomiany — stopień, działania i wzory skróconego mnożenia (II)

Wielomiany — stopień, działania i wzory skróconego mnożenia (II)

Klasa 2PodstawaWielomiany i wzory

Wielomian to wyrażenie z potęgami zmiennej o wykładnikach naturalnych, np. 3x³−2x+5. W zadaniach najpierw porządkujesz wyrazy, pilnujesz stopnia, a dopiero potem dodajesz, mnożysz albo używasz wzorów skróconego mnożenia.

⏱ ~24 min
Wielomiany — stopień, działania i wzory skróconego mnożenia (II)

Po co Ci ten temat?

Wielomiany to algebraiczny język funkcji kwadratowej, równań i późniejszych zadań maturalnych. Jeśli umiesz je porządkować i wykonywać działania bez gubienia znaków, równania, nierówności i rozkłady na czynniki robią się dużo prostsze. To nie teoria do wkucia, lecz sprawny warsztat: rozpoznaj stopień, uporządkuj wyrazy, wykonaj działanie i sprawdź wynik.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej zapisujemy:

W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0,an≠0, n∈N∪{0}W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0,\qquad a_n\neq 0,\ n\in\mathbb{N}\cup\{0\}

Stopień wielomianu to największy wykładnik przy niezerowym współczynniku — np. W(x)=4x3−2x2+7x−1W(x)=4x^3-2x^2+7x-1 ma stopień 33.

Wielomian zerowy W(x)=0W(x)=0 nie ma określonego stopnia (to coś innego niż wielomian stopnia 00, czyli stała różna od zera).

ElementCo oznacza
4x34x^3wyraz stopnia 33
−2x2-2x^2wyraz stopnia 22
7x7xwyraz stopnia 11
−1-1wyraz wolny

Wzory skróconego mnożenia (II):

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a−b)2=a2−2ab+b2,(a−b)(a+b)=a2−b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\qquad (a-b)(a+b)=a^2-b^2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Rozwiń nawiasy vs użyj wzoru

wzór skróconego mnożenia oszczędza czas i błędy

rozwiń „na piechotę"
wzór skróconego mnożenia
każdy z każdym (cztery mnożenia)
1
gotowy schemat: (a±b)², a²−b²
łatwo zgubić znak albo środek
2
szybciej rozpoznać i zapisać

Gdy widzisz (a±b)² albo (a−b)(a+b), użyj wzoru. Nie zapomnij środkowego 2ab.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1. Uprość (2x-3)^2+(x+4)(x-4) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Określanie stopnia przed redukcją. Stopień sprawdzamy po uproszczeniu — najwyższe potęgi mogą się skrócić (np.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Ten temat zwykle jest ukryty w środku zadania: dostajesz równanie, funkcję albo zadanie tekstowe, a pierwszym krokiem jest uproszczenie wielomianu. CKE sprawdza, czy umiesz rozwinąć nawiasy, użyć wzorów skróconego mnożenia, zredukować w…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Wielomian

Wyrażenie zbudowane z sumy wyrazów typu axⁿ, gdzie n jest liczbą naturalną albo zerem

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Powrót do działuNastępna lekcja →