Dział MAT.2.3›Hiperbola f(x)=k/x — wykres, asymptoty i własności

Hiperbola f(x)=k/x — wykres, asymptoty i własności

Klasa 2PodstawaHiperbola i asymptoty

Funkcja f(x)=k/x ma wykres złożony z dwóch gałęzi, a jej znaki i położenie zależą od znaku k. W zadaniach najpierw patrzysz na dziedzinę, asymptoty i ćwiartki układu, a dopiero potem liczysz konkretne wartości.

⏱ ~25 min
Hiperbola f(x)=k/x — wykres, asymptoty i własności

Po co Ci ten temat?

Hiperbola to podstawowy wykres funkcji wymiernej. Gdy rozumiesz f(x)=kxf(x)=\frac{k}{x}, łatwiej ogarniesz złożone funkcje typu f(x)=ax−p+qf(x)=\frac{a}{x-p}+q. To temat bardzo graficzny — w zadaniach rzadko liczysz dużo, częściej trzeba wiedzieć, gdzie są asymptoty, w których ćwiartkach leżą gałęzie i jak zmienia się funkcja.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Funkcja wymierna typu hiperbola:

f(x)=kx,k≠0f(x)=\frac{k}{x},\qquad k\neq 0

Mianownik xx nie może być zerem, więc dziedzina i zbiór wartości:

Df=R∖{0},Wf=R∖{0}D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\},\qquad W_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}

Asymptoty: pionowa x=0x=0 (oś OYOY) i pozioma y=0y=0 (oś OXOX). Funkcja nie ma miejsca zerowego i nigdy nie przyjmuje wartości 00. Wykres składa się z dwóch oddzielnych gałęzi.

Własnośćk>0k>0k<0k<0
ćwiartkiI i IIIII i IV
monotonicznośćmaleje na (−∞,0)(-\infty,0) i (0,∞)(0,\infty)rośnie na (−∞,0)(-\infty,0) i (0,∞)(0,\infty)

Asymptota to prosta, do której wykres się zbliża, ale jej nie przecina — sama nie jest częścią wykresu.

Wizualizacja· Hiperbola i asymptoty
Wykres hiperboli f(x)=4/x z dwiema gałęziami w I i III ćwiartce oraz asymptotami x=0 i y=0
Hiperbola f(x)=k/x dla k>0 — dwie gałęzie w I i III ćwiartce zbliżające się do asymptot x=0 i y=0.

Co zauważyć: Gałęzie zbliżają się do osi dowolnie blisko, ale nigdy ich nie przecinają — asymptota nie jest częścią wykresu.

Infografika

Hiperbola k/x — od dziedziny do gałęzi

najpierw dziedzina, potem asymptoty, potem znak k

1

Zapisz wzór i dziedzinę

f(x)=k/x • k≠0 • x≠0 → D=ℝ∖{0}

2

Zaznacz asymptoty

pionowa x=0 • pozioma y=0 (linie przerywane)

3

Sprawdź znak k i ćwiartki

k>0 → I i III; k<0 → II i IV

4

Policz punkty kontrolne

np. x=1 • 2 • −1 • −2

5

Narysuj dwie gałęzie

zbliżają się do osi • ale ich nie przecinają

Pamiętaj: Asymptota NIE jest częścią wykresu. Monotoniczność podajemy osobno na (−∞,0) i (0,∞).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Sprawdź wzór i zapisz warunek k\neq 0 oraz dziedzinę x\neq 0 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 ( k 0 ). Naszkicuj i opisz f(x)=\frac{4}{x} : D f=\mathbb{R}\setminus\{0\},\qquad W f=\mathbb{R}\setminus\{0\},\qquad k=4 0 Skoro k 0 , gałęzie leżą w I i III ćwiartce; asymptoty x=0 i y=0 ; funkcja maleje na (-\infty,0) oraz…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Podstawianie x=0 . x=0 nie należy do dziedziny — nie wolno dzielić przez zero.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Możesz dostać wykres i pytanie o wzór albo wzór i pytanie o własności. CKE lubi sprawdzać: dziedzinę funkcji wymiernej, znak współczynnika k , asymptoty, odczytywanie wartości z wykresu i rozpoznawanie przesuniętej hiperboli f(x)=\frac{…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Hiperbola

Wykres funkcji typu f(x)=k/x, złożony z dwóch oddzielnych gałęzi

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:14%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →