Równania wymierne — rozwiązywanie i sprawdzanie dziedziny
Równanie wymierne rozwiązuje się podobnie jak równanie z ułamkami, ale z obowiązkowym warunkiem na mianowniki. Najpierw wykluczasz wartości zakazane, potem mnożysz przez wspólny mianownik i na końcu sprawdzasz, czy rozwiązania nie łamią dziedziny.
Po co Ci ten temat?
Równania wymierne są częste na sprawdzianach, bo łączą kilka umiejętności naraz: dziedzinę, rozkład na czynniki, wspólny mianownik i równanie liniowe albo kwadratowe. Dobra wiadomość: prawie zawsze działa ten sam schemat — najpierw warunki, potem pozbycie się mianowników, potem zwykłe równanie.
Najważniejsza idea w prostych słowach
Równanie wymierne to równanie, w którym pojawia się w mianowniku, np. . Najważniejsza zasada: nie wolno mnożyć ani skracać bez sprawdzenia dziedziny. Jeśli w trakcie rozwiązania dostaniesz , które zeruje któryś mianownik, musisz je odrzucić — to rozwiązanie pozorne.
Najważniejszy nawyk: wynik przekształceń to dopiero kandydat. Odpowiedzią zostaje tylko kandydat, który należy do dziedziny.
Równanie wymierne — od dziedziny do odpowiedzi
kandydat ≠ odpowiedź
Wypisz mianowniki i warunki
każdy mianownik ≠ 0 → wartości zakazane
Ustal wspólny mianownik
sprowadź ułamki do wspólnego mianownika
Pomnóż OBIE strony
przez wspólny mianownik • pilnuj nawiasów
Rozwiąż i znajdź kandydatów
zwykle równanie liniowe albo kwadratowe
Sprawdź dziedzinę i odpowiedz
kandydat z wartości zakazanej → odrzuć
Pamiętaj: Kandydat to jeszcze nie odpowiedź. Odpowiedzią jest tylko kandydat należący do dziedziny — inaczej rozwiązanie pozorne.
Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
1. Wypisz wszystkie mianowniki.
Przykład
Przykład rozwiązany
Przykład 1. Rozwiąż \frac{2}{x-1}+1=\frac{5}{x-1} .
Postać iloczynowa V(x)/W(x)=0 (PR)
Gdy równanie ma postać \dfrac{V(x)}{W(x)}=0 z wielomianami w postaci iloczynowej , korzystamy z zasady: ułamek jest zerem dokładnie wtedy, gdy licznik jest zerem, a mianownik różny od zera : \frac{V(x)}{W(x)}=0 \iff V(x)=0 \ \text{ oraz …
Przykład
Typowe pułapki i błędy
- Start od mnożenia przez mianownik. Najpierw zapisz warunki dziedziny (mianownik \neq 0 ) — inaczej tracisz punkt za dziedzinę.
Jak to wygląda na maturze?
Równania wymierne są punktowane etapami: zapisanie warunków na mianowniki, poprawne pomnożenie przez wspólny mianownik, rozwiązanie równania po przekształceniu, odrzucenie wartości niedopuszczalnych. Jeśli masz mało czasu, zawsze zrób p…
Kluczowe pojęcia
Równanie wymierne
Równanie, w którym zmienna występuje w mianowniku przynajmniej jednego ułamka
Materiały ZPE
3 materiały