Nierówności wymierne i funkcje wymierne złożone
Nierówność wymierna to nie jest zwykłe mnożenie przez mianownik, bo nie wiesz, czy mianownik jest dodatni czy ujemny. Najbezpieczniejsza metoda to przenieść wszystko na jedną stronę, sprowadzić do jednego ułamka i zrobić tabelkę znaków.
Po co Ci ten temat?
Nierówności wymierne to temat, w którym uczeń często zna rachunki, ale traci punkt przez zły znak nierówności albo pominiętą dziedzinę. Tu nie chodzi o szybkie mnożenie przez mianownik — chodzi o kontrolę znaku całego ułamka. To także przygotowanie do analizy złożonych funkcji wymiernych: dziedzina, miejsca zerowe, asymptoty, znaki, przedziały.
Słownictwo
Najważniejsza idea w prostych słowach
Rozwiązujemy nierówności postaci:
Nie mnożymy przez mianownik, bo może być dodatnie albo ujemne — gdyby było ujemne, trzeba by odwrócić znak nierówności. Dlatego stosujemy bezpieczny schemat: jedna strona → jeden ułamek → zera licznika i mianownika → tabela znaków.
Kluczowa różnica ról:
| Punkt krytyczny | Rola | Czy wchodzi do odpowiedzi? |
|---|---|---|
| zero licznika | ułamek przyjmuje wartość | może — przy lub |
| zero mianownika | wartość zakazana (dziura w dziedzinie) | nigdy |
Co zauważyć: Nie mnóż przez mianownik, jeśli nie znasz jego znaku — sprowadź do jednego ułamka i zrób tabelę znaków.
Nierówność wymierna — znak całego ułamka
nie mnóż przez mianownik
Wszystko na jedną stronę, druga = 0
nie mnóż przez mianownik (znak nieznany)
Sprowadź do jednego ułamka i rozłóż
licznik i mianownik na czynniki
Zaznacz punkty krytyczne
zera licznika (○ lub ●) i mianownika (zawsze ○)
Tabela znaków na przedziałach
znak licznika × znak mianownika
Wybierz przedziały i nawiasy
zero mianownika NIGDY; zero licznika przy ≥ • ≤
Pamiętaj: Nie rozwiązujesz „jak równania" — badasz ZNAK całego ułamka. Zera mianownika to dziury w dziedzinie, zera licznika to potencjalne rozwiązania.
Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
1. Przenieś wszystko na jedną stronę (po drugiej 0 ).
Przykład
Przykład rozwiązany
Przykład 1 ( \ge 0 ). Rozwiąż \dfrac{x-2}{x+3}\ge 0 .
Przykład
Typowe pułapki i błędy
- Mnożenie nierówności przez mianownik. Q(x) może być ujemne i odwrócić znak nierówności — rób tabelę znaków.
Jak to wygląda na maturze?
CKE sprawdza nierówności wymierne jako krótkie zadanie albo element analizy funkcji. Punkty: poprawna dziedzina, sprowadzenie do jednego ułamka, zera licznika i mianownika, tabela znaków, poprawny zapis przedziałów.
Kluczowe pojęcia
Nierówność wymierna
Nierówność, w której występuje ułamek algebraiczny ze zmienną w mianowniku
Materiały ZPE
3 materiały