Trygonometria kąta ostrego to szybki sposób na zamianę kątów na proporcje boków w trójkącie prostokątnym. Jeśli dobrze podpiszesz przeciwprostokątną, przyprostokątną naprzeciw kąta i przyprostokątną przy kącie, wzory robią się prawie mechaniczne.
Trygonometria zaczyna się od bardzo praktycznego pytania: jak obliczyć bok trójkąta, gdy znam tylko jeden bok i kąt? Albo jak znaleźć kąt, gdy znam dwa boki?
W zadaniach szkolnych i maturalnych często nie chodzi o długi dowód, tylko o szybkie rozpoznanie: mam trójkąt prostokątny, mam kąt ostry, więc mogę użyć sinusa, cosinusa albo tangensa.
Słownictwo
W trójkącie prostokątnym funkcje trygonometryczne mówią, jaki jest stosunek dwóch boków względem wybranego kąta ostrego α.
Najpierw podpisz boki:
| Bok | Co oznacza? |
|---|---|
| przeciwprostokątna | najdłuższy bok, leży naprzeciw kąta prostego |
| przyprostokątna naprzeciw α | bok po drugiej stronie kąta α |
| przyprostokątna przy α | bok dotykający kąta α, ale nie przeciwprostokątna |
Wzory:
sin α = bok naprzeciw α / przeciwprostokątna
cos α = bok przy α / przeciwprostokątna
tg α = bok naprzeciw α / bok przy α
ctg α = bok przy α / bok naprzeciw α
Najważniejsze wartości:
| α | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
1. Sprawdź, czy masz trójkąt prostokątny.
Przykład
W trójkącie prostokątnym kąt α ma 30°. Przeciwprostokątna ma długość 10.
Najczęstszy błąd to podpisanie boków względem złego kąta. Ten sam bok może być „naprzeciw” jednego kąta i „przy” drugiego.
Na poziomie podstawowym często dostajesz trójkąt, wysokość, przekątną albo rysunek pomocniczy. Zadanie zwykle sprowadza się do jednego z trzech ruchów: 1.
Sinus kąta ostrego
Stosunek boku naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym