W zadaniach z okręgiem najczęściej chodzi o odległość od środka, promień i kąt prosty przy stycznej. Jeśli rozpoznasz, czy prosta przecina okrąg, jest styczna czy zewnętrzna, zwykle zostaje tylko Pitagoras albo równanie odległości.
Okrąg i koło wracają w geometrii bardzo często: przy stycznych, kątach, wielokątach wpisanych, polach i zadaniach z rysunkiem. To nie jest dział do pamiętania dwudziestu twierdzeń naraz. Najważniejsze jest rozpoznanie kilku sytuacji na rysunku.
Jeżeli widzisz środek okręgu, promień i prostą, pierwsze pytanie brzmi: jaka jest odległość środka od tej prostej? Od tego zależy, czy prosta przecina okrąg, dotyka go w jednym punkcie, czy w ogóle go nie przecina.
Słownictwo
Okrąg to zbiór punktów w tej samej odległości od środka.
Koło to okrąg razem z wnętrzem.
Najważniejsze oznaczenia:
| Pojęcie | Co oznacza? |
|---|---|
| środek O | punkt w środku okręgu |
| promień r | odcinek od środka do punktu na okręgu |
| średnica d | odcinek przez środek, d=2r |
| cięciwa | odcinek łączący dwa punkty okręgu |
| styczna | prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny |
Kluczowa własność stycznej:
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Czyli jeśli prosta jest styczna w punkcie T, to OT ⟂ styczna.
Słownictwo
1. Zaznacz środek okręgu O i promień r.
Przykład
Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie T. Środek okręgu to O, promień OT ma długość 6, a OP=10.
Najczęstszy błąd: uczeń wie, że styczna „dotyka” okręgu, ale nie dorysowuje promienia do punktu styczności. Bez tego nie widać kąta prostego.
Na maturze ten temat często jest ukryty w zadaniu z rysunkiem. W treści pojawia się styczna, promień, punkt zewnętrzny albo odległość od środka.
Okrąg
Zbiór punktów leżących w tej samej odległości od jednego punktu, czyli środka.