Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt środkowy. To jeden z tych tematów, gdzie większość zadania polega na zauważeniu, na którym łuku opierają się kąty.
Kąty w okręgu są bardzo częste w zadaniach z rysunkiem. Na pierwszy rzut oka obrazek wygląda skomplikowanie, ale zwykle chodzi o jedną prostą relację: kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku.
Ten temat jest ważny, bo uczy patrzenia nie tylko na sam kąt, ale też na łuk, na którym ten kąt jest oparty. Jeśli dobrze rozpoznasz łuk, obliczenia są krótkie.
Słownictwo
Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu.
Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona przechodzą przez dwa punkty okręgu.
Najważniejsze twierdzenie:
Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę równą połowie kąta środkowego.
Czyli jeśli kąt środkowy ma 80°, to kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma 40°.
| Sytuacja | Wniosek |
|---|---|
| kąt środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku | kąt wpisany = 1/2 kąta środkowego |
| dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku | mają równe miary |
| kąt wpisany oparty na średnicy | ma 90° |
Bardzo ważny skrót:
Kąt oparty na średnicy jest prosty.
1. Zaznacz środek okręgu, jeśli jest podany.
Przykład
W okręgu kąt środkowy AOB ma miarę 120°. Punkt C leży na okręgu, a kąt ACB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku AB.
Najczęstszy błąd: uczeń widzi dwa kąty w okręgu i od razu dzieli przez 2, ale nie sprawdza, czy są oparte na tym samym łuku. Drugi błąd: mylenie kąta środkowego z wpisanym.
Na maturze zadanie często pokazuje okrąg, kilka punktów i jeden znany kąt. Twoim zadaniem jest znaleźć brakujący kąt.
Kąt środkowy
Kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.