W geometrii analitycznej punkt to para współrzędnych, a odcinek liczysz jak mały trójkąt prostokątny. Jeśli widzisz dwa punkty A i B, prawie zawsze zaczynasz od różnic współrzędnych, wzoru na odległość albo środka odcinka.
Geometria analityczna zamienia rysunek na rachunek. Zamiast mierzyć linijką, podstawiasz współrzędne do wzoru. To jest bardzo wygodne w zadaniach, w których masz punkty, odcinki, trójkąty, środki boków albo trzeba sprawdzić, czy figura ma określone własności.
Ten temat jest fundamentem dla całego działu: prostej, okręgu, odległości punktu od prostej i zadań złożonych.
Poziom: część wspólna PP/R, ale na rozszerzeniu częściej pojawiają się zadania wieloetapowe.
Jeżeli masz punkty A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂), to odcinek AB możesz potraktować jak przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym.
Różnica pozioma: x₂−x₁
Różnica pionowa: y₂−y₁
Odległość punktów:
d(A,B)=√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)
Środek odcinka:
S=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Najważniejsze: nie dodajesz współrzędnych „na oko”. Osobno pracujesz z x, osobno z y.
1. Zapisz punkty w formie A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂).
Przykład
Dane są punkty A=(1,2) i B=(5,5). Oblicz długość odcinka AB oraz jego środek.
- Uczeń odejmuje współrzędne w różnej kolejności i boi się minusa. W długości to nie szkodzi, bo i tak podnosisz do kwadratu.
Na maturze dostajesz zwykle punkty za dobór wzoru, poprawne podstawienie i rachunek. Typowe polecenia: - oblicz długość odcinka, - wyznacz środek odcinka, - sprawdź, czy trójkąt jest równoramienny/prostokątny, - znajdź brakujący punkt, …
Punkt w układzie współrzędnych
Para liczb (x,y), gdzie x mówi o położeniu poziomym, a y o pionowym.