Równanie prostej to opis linii za pomocą liczb. Najważniejsze jest rozpoznać, kiedy użyć postaci y=ax+b, kiedy ogólnej Ax+By+C=0 i jak z nachylenia a odczytać równoległość lub prostopadłość.
Prosta pojawia się w prawie każdym większym zadaniu z geometrii analitycznej. Możesz mieć dwa punkty i trzeba znaleźć równanie prostej. Możesz mieć równanie i trzeba sprawdzić, czy punkt należy do prostej. Możesz mieć dwie proste i trzeba ustalić, czy są równoległe, prostopadłe albo się przecinają.
To jest temat bardzo algorytmiczny: wybierasz postać równania, podstawiasz dane i pilnujesz rachunków.
Poziom: część wspólna PP/R; na rozszerzeniu częściej dochodzą zadania z parametrem i układy kilku warunków.
Słownictwo
Najczęściej używasz trzech postaci prostej:
| Postać | Zapis | Kiedy wygodna? |
|---|---|---|
| kierunkowa | y=ax+b | gdy znasz nachylenie albo łatwo je policzyć |
| ogólna | Ax+By+C=0 | gdy liczysz odległość punktu od prostej albo przekształcasz równania |
| przez punkt i kierunek | y−y₀=a(x−x₀) | gdy znasz punkt i współczynnik kierunkowy |
Współczynnik a mówi, jak prosta jest nachylona.
Dwie proste y=a₁x+b₁ i y=a₂x+b₂:
Uwaga: prosta pionowa ma postać x=c i nie da się jej zapisać jako y=ax+b.
1. Sprawdź, jakie dane masz: dwa punkty, punkt i nachylenie, równanie prostej czy warunek równoległości/prostopadłości.
Przykład
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez P=(3,1) i prostopadłej do prostej y=2x−5. Krok 1: prosta dana ma współczynnik kierunkowy a=2.
- Uczeń myli warunek równoległości i prostopadłości. Równoległość: takie samo a.
Typowe zadania maturalne: - wyznacz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, - znajdź prostą równoległą/prostopadłą do danej, - sprawdź, czy punkt należy do prostej, - znajdź punkt przecięcia dwóch prostych, - użyj równania prost…
Współczynnik kierunkowy
Liczba a w równaniu y=ax+b, która mówi o nachyleniu prostej.