Wektory w układzie współrzędnych
Wektor w układzie współrzędnych to para [x, y]. Wektor AB liczymy jako koniec minus początek: AB = [x_B − x_A, y_B − y_A], a jego długość |AB| = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²). Uwaga: AB ≠ BA. Wektory są współliniowe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego.
Po co Ci ten temat?
Wektory to wygodny język geometrii analitycznej: opisują przesunięcia, kierunki i siły jako pary liczb. Zamiast rysować, liczysz na współrzędnych. Na rozszerzeniu wracają przy środku odcinka, przesunięciu figury o wektor, badaniu współliniowości punktów i w zadaniach z parametrem. Dobrze opanowany rachunek wektorowy skraca wiele zadań maturalnych.
Najważniejsza idea w prostych słowach
Wektor w układzie współrzędnych to para liczb — jego współrzędne: pierwsza mówi, o ile przesuwamy się w poziomie, druga — w pionie.
Wektor między punktami i liczymy zawsze tak samo — koniec minus początek:
Zwrot ma znaczenie (czyli kolejność punktów): , bo — ten sam odcinek i ten sam kierunek, ale przeciwny zwrot.
Długość (moduł) wektora to odległość jego końców:
Wektor z dwóch punktów — krok po kroku
zawsze koniec minus początek
Zapisz współrzędne
A = (x_A • y_A) oraz B = (x_B • y_B)
Odejmij koniec − początek
AB = [x_B − x_A • y_B − y_A]
Policz długość lub działanie
długość = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²); działania po współrzędnych
Sprawdź kierunek
AB ≠ BA — koniec minus początek • nigdy odwrotnie
Pamiętaj: Najczęstszy błąd to odjąć początek minus koniec. Zawsze: współrzędne końca minus współrzędne początku.
Słownictwo
Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
1. Zapisz współrzędne punktów, np.
Przykład
Przykład rozwiązany
Dane: A=(1,\ 2) , B=(4,\ 6) . Wektor \vec{AB} : \vec{AB} = [\,4-1,\ \ 6-2\,] = [3,\ 4] Długość: \vec{AB} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 Mnożenie przez skalar: 2\vec{AB}=[6,\ 8] , a (-1)\vec{AB}=[-3,\ -4]=\vec{BA} .
Typowe pułapki i błędy
- \vec{AB} liczone jako A-B . Wektor to koniec minus początek; zła kolejność daje wektor przeciwny \vec{BA}=-\vec{AB} .
Jak to wygląda na maturze?
Na rozszerzeniu wektory pojawiają się przy środku odcinka, przesunięciu figury o wektor, badaniu współliniowości trzech punktów (czy \vec{AB} i \vec{AC} są współliniowe) oraz w zadaniach z parametrem. Schemat działania: zapisz współrzęd…
Kluczowe pojęcia
Wektor [x, y]
Para liczb opisująca przesunięcie: x w poziomie, y w pionie. To NIE punkt, lecz kierunek wraz z długością.
Materiały ZPE
4 materiały