Równanie okręgu w postaci ogólnej — wzór z tablic nie mówi, czy to okrąg

Klasa 3RozszerzenieGeometria analityczna

Tablice CKE podają postać ogólną okręgu, ale przy założeniu r > 0 — i nie mówią, kiedy równanie tej postaci rzeczywiście opisuje okrąg. Rozstrzyga to znak wyrażenia r² = a² + b² − c: dodatni daje okrąg, zero jeden punkt, ujemny zbiór pusty.

⏱ ~40 min

Wzorzec

Równanie okręgu w postaci ogólnej — wzór z tablic nie mówi, czy to okrąg

Zestaw wzorów CKE podaje postać ogólną okręgu: $x$ , gdzie $c=a$ . Czego nie podaje — i o czym jest ta lekcja — to warunek, kiedy równanie tej postaci rzeczywiście opisuje okrąg. Bo nie zawsze opisuje: przy pewnych współczynnikach zostaje jeden punkt, a przy innych zbiór pusty. Wzór z tablic zakłada, że okrąg już istnieje. Zadanie maturalne zwykle każe to dopiero sprawdzić.

Schemat „Równanie okręgu w postaci ogólnej”. Poziom rozszerzony. Droga od równania do odpowiedzi w czterech krokach. Krok pierwszy, dwie bramki wstępne: współczynniki przy x kwadrat i y kwadrat muszą być RÓWNE i różne od zera, a w równaniu nie może występować składnik z iloczynem xy; jeżeli współczynnik nie jest jedynką, najpierw podziel całe równanie przez niego. Krok drugi, odczyt z tablic: porównaj równanie ze wzorem x kwadrat plus y kwadrat minus 2ax minus 2by plus c równa się zero, skąd a równa się minus połowa współczynnika przy x, b równa się minus połowa współczynnika przy y, a c to wyraz wolny. Krok trzeci, warunek istnienia, którego w tablicach NIE MA: r kwadrat równa się a kwadrat plus b kwadrat minus c, i dopiero znak tego wyrażenia rozstrzyga. Trzy przypadki: gdy r kwadrat większe od zera, jest to okrąg o środku w punkcie a, b i promieniu pierwiastek z r kwadrat; gdy r kwadrat równa się zero, zbiorem rozwiązań jest jeden punkt a, b, czyli okrąg zdegenerowany do środka; gdy r kwadrat mniejsze od zera, zbiór rozwiązań jest pusty i żaden punkt płaszczyzny równania nie spełnia. Krok czwarty: odpowiedz na pytanie zadania, podając środek i promień albo stwierdzając, że okrąg nie istnieje. Przykład przeprowadzony przez wszystkie kroki: równanie x kwadrat plus y kwadrat minus 6x plus 4y minus 12 równa się zero; odczyt daje a równe 3, b równe minus 2, c równe minus 12; r kwadrat równa się 9 plus 4 plus 12, czyli 25, więc promień wynosi 5, a środek leży w punkcie 3 i minus 2. Kontrola wyniku: podstaw znalezione a, b i r z powrotem do wzoru c równa się a kwadrat plus b kwadrat minus r kwadrat i sprawdź, czy wychodzi wyraz wolny z treści zadania. Granica stosowalności: metoda dotyczy wyłącznie równań, w których współczynniki przy obu kwadratach są równe i nie ma składnika xy; równanie z różnymi współczynnikami opisuje elipsę albo hiperbolę, a nie okrąg, i ten przypadek wykracza poza podstawę programową. Źródło wzoru: Centralna Komisja Egzaminacyjna, „Wybrane wzory matematyczne” na egzamin maturalny z matematyki, część Geometria analityczna, strona 24. Zakres: podstawa programowa — matematyka, dział IX Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, zakres rozszerzony, punkt 1. Schemat dydaktyczny NexTutor — materiał wtórny.

Otwórz figurę w nowej karcie ⤢

Przykład

Po tej lekcji będziesz umieć

Rozpoznać, czy dane równanie drugiego stopnia w ogóle może opisywać okrąg
Odczytać środek i wyraz wolny przez porównanie ze wzorem z tablic
Wyznaczyć $r$ i rozstrzygnąć, czy okrąg istnieje, czy zbiór jest jednopunktowy albo pusty
Sprowadzić postać ogólną do kanonicznej przez uzupełnianie do kwadratu
Zamienić postać kanoniczną na ogólną i sprawdzić wynik rachunkiem wstecznym
Wyznaczyć wartości parametru, dla których równanie opisuje okrąg o zadanym promieniu

Po co Ci to na maturze

To wymaganie poziomu rozszerzonego — podstawa programowa, dział IX, zakres rozszerzony, punkt 1: stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej. Poziom podstawowy kończy się na postaci kanonicznej $(x-a)^2+(y-b)^2=r$ , w której środek i promień widać gołym okiem — tym zajmuje się lekcja Równanie okręgu — środek, promień i wzajemne położenie z prostą.

Różnica jest praktyczna. W postaci kanonicznej okrąg jest dany. W postaci ogólnej dostajesz równanie i to Ty masz rozstrzygnąć, czy opisuje ono okrąg, punkt, czy nic.

Oba wzory są w zestawie Wybrane wzory matematyczne. Pamiętać ich nie trzeba — trzeba wiedzieć, że tablice podają wzór przy założeniu $r>0$ , a sprawdzenie tego założenia należy do zdającego.

Wprowadzenie

Intuicja — co postać ogólna ukrywa

Weź okrąg o środku (3,-2) i promieniu 5 i rozwiń jego postać kanoniczną: (x-3)^2+(y+2)^2=25 x^2-6x+9+y^2+4y+4=25 x^2+y^2-6x+4y-12=0 To ten sam okrąg. Ale w ostatnim zapisie nie widać ani środka, ani promienia — zniknęły w wymnożonych nawiasach.

Równanie okręgu w postaci ogólnej — wzór z tablic nie mówi, czy to okrąg

Równanie okręgu w postaci ogólnej — wzór z tablic nie mówi, czy to okrąg

Po tej lekcji będziesz umieć

Po co Ci to na maturze

Intuicja — co postać ogólna ukrywa

Dwie bramki, zanim zaczniesz cokolwiek liczyć

Odczyt z tablic — skąd biorą się $a$, $b$ i $c$

Warunek istnienia — to, czego w tablicach nie ma

Uzupełnianie do kwadratu — droga bez tablic

Droga w drugą stronę — z kanonicznej na ogólną

Solver — jak postępować krok po kroku

Przykład rozwiązany

Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych

Mini-praktyka — 8 zadań

Powtórka w 30 sekund

Kluczowe pojęcia

Częste błędy

Najczęstsze pytania

Status CKE

Ćwicz dalej

Źródła