Układy równań kwadratowych — dwa okręgi i jedno odejmowanie
Dwa równania postaci x² + y² + ax + by = c opisują okręgi. Odjęcie ich stronami usuwa kwadraty i zostawia prostą zawierającą punkty wspólne — ale to dopiero krok pośredni, nie odpowiedź.
Wzorzec
Układy równań kwadratowych — dwa okręgi i jedno odejmowanie
Układ dwóch równań drugiego stopnia wygląda groźnie, ale ma jedną własność, która zamienia go w zadanie ze szkolnej algebry: oba równania mają identyczne wyrazy i . Odjęcie ich stronami likwiduje kwadraty i zostawia zwykłe równanie liniowe. Cała trudność polega na tym, żeby to zauważyć — i żeby wiedzieć, czym otrzymana prosta naprawdę jest.
Otwórz figurę w nowej karcie ⤢Przykład
Po tej lekcji będziesz umieć
- Rozpoznać w równaniu okrąg i wyznaczyć jego środek oraz promień
- Rozwiązać układ dwóch takich równań metodą odejmowania stronami
- Uzasadnić, dlaczego odejmowanie nie gubi ani nie dodaje rozwiązań
- Odczytać z liczby rozwiązań wzajemne położenie okręgów
- Rozpoznać przypadki, w których układ nie ma rozwiązań, i odróżnić dwie różne przyczyny
- Sprawdzić otrzymane punkty w obu równaniach wyjściowych
Po co Ci to na maturze
To wymaganie poziomu rozszerzonego. Na poziomie podstawowym rozwiązujesz układy liniowe oraz badasz wzajemne położenie okręgu i prostej — tym zajmuje się lekcja Równanie okręgu — środek, promień i wzajemne położenie z prostą.
Na rozszerzeniu dochodzi układ dwóch okręgów. Pojawia się jako element zadania z geometrii analitycznej: znajdź punkty wspólne, wykaż styczność, wyznacz cięciwę wspólną. Rzadziej jako samodzielne polecenie — najczęściej jako krok w dłuższym rozwiązaniu.
Obie postacie równania okręgu — kanoniczna i ogólna — są w zestawie Wybrane wzory matematyczne. Nie musisz ich pamiętać; musisz je rozpoznawać.
Wprowadzenie
Intuicja — dlaczego odejmowanie w ogóle działa
Geometrycznie szukasz punktów wspólnych dwóch okręgów. Mogą ich mieć dwa, jeden albo żaden — i to wszystko, o ile okręgi nie są identyczne.
Postać ogólna — jak rozpoznać okrąg
Równanie x^2+y^2+ax+by=c to okrąg zapisany inaczej niż zwykle. Żeby odczytać środek i promień, uzupełnij oba wyrażenia do kwadratu zupełnego: x^2+ax = \left(x+\tfrac{a}{2}\right)^2 - \tfrac{a^2}{4} Po wykonaniu tego dla obu zmiennych dostajesz postać kanon…
Dlaczego odejmowanie jest przekształceniem równoważnym
To pytanie zadaje sobie mało kto, a warto — bo od odpowiedzi zależy, czy wolno tak robić. Oznaczmy równania jako R 1 i R 2 .
Słownictwo
Co mówi liczba rozwiązań
Po podstawieniu prostej do równania okręgu dostajesz równanie kwadratowe. Jego wyróżnik rozstrzyga wszystko: \Delta rozwiązania układu położenie okręgów --- --- --- \Delta 0 dwa punkty okręgi przecinają się \Delta = 0 jeden punkt okręgi są styczne \Delta <…
Solver — jak postępować krok po kroku
1. Sprawdź postać obu równań.
Przykład
Przykład rozwiązany
Zadanie. Wyznacz punkty wspólne okręgów: x^2+y^2 = 25 \qquad \text{oraz} \qquad x^2+y^2-8x-4y = -15 Krok 1 — rozpoznanie.
Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
1. Czy oba równania mają tę samą postać, z jednakowymi współczynnikami przy x^2 i y^2 ?
Wzorzec
Mini-praktyka — 8 zadań
1. Wyznacz środek i promień okręgu x^2+y^2-6x+4y-12=0 .
Powtórka w 30 sekund
Dwa równania postaci x^2+y^2+ax+by=c opisują okręgi. Odjęcie ich stronami usuwa kwadraty i daje prostą przechodzącą przez wszystkie punkty wspólne.
Przykład
Kluczowe pojęcia
- Postać ogólna równania okręgu — zapis x^2+y^2+ax+by=c ; środek to \left(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{b}{2}\right) , a promień wyznaczamy po uzupełnieniu do kwadratu. - Uzupełnianie do kwadratu zupełnego — przekształcenie x^2+ax=\left(x+\tfrac a2\right)^2-\tfrac…
Częste błędy
Częste błędy
1. Uznanie prostej za odpowiedź.
Przykład
Najczęstsze pytania
Czy zawsze można odjąć równania stronami? Tak, o ile współczynniki przy x^2 i y^2 są w obu równaniach jednakowe.
Status CKE
- Zakres: poziom rozszerzony. Podstawa programowa, dział IV Układy równań , zakres rozszerzony: rozwiązuje układy równań kwadratowych postaci x^2+y^2+ax+by=c oraz x^2+y^2+dx+ey=f .
Ćwicz dalej
- Powtórz podstawy: Równanie okręgu — środek, promień i wzajemne położenie z prostą (MAT. 3.
Źródła
- Podstawa programowa kształcenia ogólnego — matematyka, liceum i technikum, dział IV Układy równań, zakres rozszerzony. Publikacja CKE:
cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/podstawa_programowa/matematyka.pdf - Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki, Centralna Komisja Egzaminacyjna, część Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/Informatory/wybrane_wzory_matematyczne_EM2023.pdf
W tej lekcji
- 1Układy równań kwadratowych — dwa okręgi i jedno odejmowanie
- 2Po tej lekcji będziesz umieć
- 3Po co Ci to na maturze
- 4Intuicja — dlaczego odejmowanie w ogóle działa
- 5Postać ogólna — jak rozpoznać okrąg
- 6Dlaczego odejmowanie jest przekształceniem równoważnym
- 7Co mówi liczba rozwiązań
- 8Solver — jak postępować krok po kroku
- 9Przykład rozwiązany
- 10Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
- 11Mini-praktyka — 8 zadań
- 12Powtórka w 30 sekund
- 13Kluczowe pojęcia
- 14Częste błędy
- 15Najczęstsze pytania
- 16Status CKE
- 17Ćwicz dalej
- 18Źródła