Funkcja wykładnicza f(x)=aˣ opisuje szybki wzrost albo zanik. Najważniejsze jest rozpoznać podstawę a: gdy a>1 wykres rośnie, a gdy 0<a<1 wykres maleje.
Funkcja wykładnicza pojawia się tam, gdzie zmiana nie jest stała, tylko procentowa: odsetki, wzrost bakterii, spadek wartości, radioaktywny zanik, skala logarytmiczna w naukach przyrodniczych. W szkole i na maturze najczęściej nie chodzi o piękną teorię, tylko o szybkie rozpoznanie wykresu i poprawne użycie własności potęg.
Poziom: część podstawowa + elementy rozszerzenia. Wykres i własności są bazowe, a przekształcenia wykresu częściej pojawiają się w zadaniach trudniejszych.
Słownictwo
Funkcja wykładnicza ma postać:
f(x)=aˣ, gdzie a>0 i a≠1
Najważniejsze przypadki:
| Podstawa | Zachowanie wykresu | Co zapamiętać |
|---|---|---|
| a>1 | funkcja rośnie | im większe x, tym szybciej rośnie |
| 0<a<1 | funkcja maleje | im większe x, tym wartość zbliża się do 0 |
| a=1 | nie jest funkcją wykładniczą w tym sensie | byłoby stale f(x)=1 |
Wykres f(x)=aˣ zawsze przechodzi przez punkt (0,1), bo a⁰=1.
1. Sprawdź podstawę a.
Przykład
Narysuj szkic funkcji f(x)=2ˣ i podaj jej podstawowe własności. Krok 1: podstawa a=2, więc a 1.
- Uczeń pisze, że funkcja wykładnicza ma miejsce zerowe, bo wykres „idzie do zera”. FAŁSZ: zbliża się do 0, ale go nie osiąga.
Typowe polecenia: - określ, czy funkcja wykładnicza jest rosnąca czy malejąca, - dopasuj wzór do wykresu, - odczytaj zbiór wartości po przesunięciu wykresu, - rozwiąż proste równanie wykładnicze, - użyj modelu procentowego, np. kapitali…
Funkcja wykładnicza
Funkcja postaci f(x)=aˣ, gdzie a>0 i a≠1.