Równania wykładnicze najczęściej sprowadzasz do tej samej podstawy albo podstawiasz pomocniczą zmienną. W nierównościach kluczowe jest to, czy podstawa jest większa od 1, bo wtedy nie zmieniasz znaku nierówności; dla 0<a<1 kierunek się odwraca.
Równania wykładnicze są jednym z tych tematów, w których dużo punktów traci się nie przez trudne rachunki, tylko przez zły pierwszy ruch. Uczeń widzi 2ˣ, 4ˣ, 8ˣ i próbuje liczyć „na czuja”, zamiast sprowadzić wszystko do jednej podstawy.
Ten temat jest bardzo ważny na rozszerzeniu, ale proste wersje pojawiają się też w standardowych zadaniach szkolnych.
Poziom: rozszerzenie w pełnej wersji. Proste równania typu 2ˣ=16 są bazowe, ale nierówności i podstawienia to już materiał trudniejszy.
Słownictwo
Najczęstsze metody:
| Typ zadania | Co robisz? | Przykład |
|---|---|---|
| Te same podstawy | sprowadzasz do aᵘ=aᵛ | 2ˣ=2⁵ |
| Różne potęgi tej samej liczby | zamieniasz 4 na 2², 8 na 2³ | 4ˣ=8 |
| Suma potęg | podstawiasz t=aˣ | 4ˣ−5·2ˣ+4=0 |
| Nierówność | sprawdzasz, czy podstawa rośnie czy maleje | (1/2)ˣ > (1/2)³ |
Najważniejsza zasada:
Jeśli a>1, to aᵘ>aᵛ oznacza u>v.
Jeśli 0<a<1, to aᵘ>aᵛ oznacza u<v.
1. Sprawdź, czy da się sprowadzić wszystko do jednej podstawy.
Przykład
Rozwiąż równanie 4ˣ−5·2ˣ+4=0. Krok 1: zauważamy, że 4ˣ=(2²)ˣ=2²ˣ=(2ˣ)².
- Uczeń robi podstawienie t=2ˣ, ale zapomina, że t 0. - Uczeń przy podstawie 1/2 nie odwraca znaku nierówności.
Typowe zadania: - rozwiąż równanie wykładnicze po sprowadzeniu do jednej podstawy, - rozwiąż równanie z podstawieniem t=aˣ, - znajdź liczbę rozwiązań równania, - rozwiąż nierówność wykładniczą, - użyj modelu procentowego i wyznacz czas p…
Równanie wykładnicze
Równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi.