Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę. Funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej, dlatego jej dziedzina to tylko liczby dodatnie.
Logarytmy wyglądają obco, ale tak naprawdę są tylko innym sposobem mówienia o potęgach. Jeżeli potrafisz czytać zdanie „2 do której potęgi daje 8?”, to już rozumiesz logarytm: log₂8=3.
Funkcja logarytmiczna przydaje się w zadaniach z wykresami, dziedziną, równaniami oraz modelami, gdzie wartości rosną wolno albo skala jest bardzo duża.
Poziom: część podstawowa + rozszerzenie. Definicja i proste własności są bazowe, a przekształcenia i analiza wykresu są typowe dla poziomu rozszerzonego.
Słownictwo
Definicja:
logₐb=c oznacza dokładnie to samo co aᶜ=b
Warunki:
a>0, a≠1, b>0
Czyli:
Funkcja logarytmiczna:
f(x)=logₐx
Najważniejsze własności:
| Podstawa | Zachowanie | Dziedzina | Punkt charakterystyczny |
|---|---|---|---|
| a>1 | rośnie | (0,+∞) | (1,0) |
| 0<a<1 | maleje | (0,+∞) | (1,0) |
Wykres ma asymptotę pionową x=0.
1. Zawsze zacznij od warunków: co musi być dodatnie?
Przykład
Podaj dziedzinę funkcji f(x)=log₂(x−4) i opisz przesunięcie wykresu. Krok 1: liczba logarytmowana musi być dodatnia: x−4 0 Krok 2: rozwiązujemy nierówność: x 4 Dziedzina: (4,+∞) Krok 3: interpretacja wykresu.
- Uczeń zapomina o warunku x 0 dla logarytmu. - Uczeń myli log₂8=3 z 2·8=16.
Typowe zadania: - oblicz wartość logarytmu z definicji, - wyznacz dziedzinę funkcji logarytmicznej, - dopasuj wzór do wykresu, - rozwiąż równanie lub nierówność logarytmiczną, - użyj własności logarytmów do uproszczenia wyrażenia. Najcz…
Logarytm
Liczba, która mówi, do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę.