Ciąg to po prostu uporządkowana lista liczb: pierwszy wyraz, drugi, trzeci i tak dalej. W zadaniach najważniejsze jest rozpoznać, czy masz wzór ogólny aₙ, wzór rekurencyjny, czy opis słowny — od tego zależy pierwszy ruch.
Ciągi pojawiają się wtedy, gdy coś zmienia się krok po kroku: oszczędności co miesiąc, liczba bakterii po kolejnych godzinach, numery wyrazów we wzorze, kolejne odległości albo raty. To temat, który wygląda spokojnie, ale łatwo w nim pomylić numer wyrazu z wartością wyrazu.
Poziom: podstawa + rozszerzenie. Sama definicja ciągu i wzór ogólny są bazowe, a rekurencja i własności ciągów częściej pojawiają się w zadaniach trudniejszych.
Słownictwo
Ciąg liczbowy to funkcja, której argumentami są liczby naturalne dodatnie:
a₁, a₂, a₃, ..., aₙ
Najważniejsze sposoby opisu:
| Sposób opisu | Co dostajesz? | Przykład |
|---|---|---|
| wzór ogólny | od razu liczysz dowolny wyraz | aₙ=2n−1 |
| wzór rekurencyjny | liczysz kolejny wyraz z poprzedniego | a₁=3, aₙ₊₁=aₙ+2 |
| opis słowny | musisz sam odkryć regułę | „każdy kolejny wyraz jest o 5 większy” |
| lista wyrazów | odczytujesz wzór albo własność | 2, 4, 8, 16, ... |
W ciągu indeks n oznacza numer miejsca, a aₙ oznacza wartość stojącą na tym miejscu.
1. Ustal, czy zadanie pyta o numer wyrazu n, czy o wartość wyrazu aₙ.
Przykład
Sprawdź, czy liczba 41 jest wyrazem ciągu aₙ=4n+1. Krok 1: skoro pytają, czy 41 jest wyrazem ciągu, zapisujemy: aₙ=41 Krok 2: podstawiamy wzór: 4n+1=41 Krok 3: rozwiązujemy równanie: 4n=40 n=10 Krok 4: sprawdzamy warunek: n=10 jest licz…
- Uczeń myli n z aₙ. n to numer wyrazu, a aₙ to wartość wyrazu.
Typowe polecenia: - oblicz konkretny wyraz ciągu, - sprawdź, czy dana liczba jest wyrazem ciągu, - wyznacz pierwszy, drugi lub n-ty wyraz z rekurencji, - ustal monotoniczność ciągu, - rozpoznaj ciąg arytmetyczny lub geometryczny po kilku…
Ciąg liczbowy
Uporządkowana lista liczb oznaczana zwykle jako a₁, a₂, a₃, ..., aₙ.