Ciąg arytmetyczny rozpoznajesz po stałej różnicy między kolejnymi wyrazami. Większość zadań sprowadza się do trzech rzeczy: znajdź różnicę r, użyj wzoru aₙ=a₁+(n−1)r, a przy sumie podstaw do Sₙ=(a₁+aₙ)n/2.
Ciąg arytmetyczny to jeden z najbardziej maturalnych typów ciągów. Pojawia się w zadaniach o kolejnych liczbach, stopniowych podwyżkach, schodach, numerach miejsc, treningach, opłatach i sumowaniu wielu wyrazów naraz.
Poziom: podstawa + rozszerzenie. Wzory i typowe zadania są bazowe, a dowody własności i zadania z parametrem są trudniejsze.
Słownictwo
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym za każdym razem dodajesz tę samą liczbę.
Ta liczba to różnica ciągu:
r=aₙ₊₁−aₙ
Najważniejsze wzory:
aₙ=a₁+(n−1)r
Sₙ=(a₁+aₙ)n/2
albo
Sₙ=[2a₁+(n−1)r]n/2
| Symbol | Znaczenie |
|---|---|
| a₁ | pierwszy wyraz |
| aₙ | n-ty wyraz |
| r | różnica ciągu |
| n | liczba wyrazów |
| Sₙ | suma n początkowych wyrazów |
1. Sprawdź, czy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.
Przykład
Oblicz sumę pierwszych 20 wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a₁=4 i r=2. Krok 1: obliczamy a₂₀.
- Uczeń używa n zamiast n−1 we wzorze aₙ=a₁+(n−1)r. - Uczeń liczy r jako aₙ−aₙ₊₁, przez co zmienia znak różnicy.
Typowe polecenia: - oblicz n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, - znajdź różnicę ciągu, - oblicz sumę n początkowych wyrazów, - wyznacz liczbę wyrazów, jeśli znasz sumę, - rozwiąż zadanie tekstowe prowadzące do ciągu arytmetycznego. Najczęs…
Ciąg arytmetyczny
Ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.