Ciąg geometryczny rozpoznajesz po stałym ilorazie q, czyli po mnożeniu przez tę samą liczbę. Jest kluczowy w zadaniach o procentach składanych, wzroście, spadku i sytuacjach, gdzie zmiana jest procentowa, a nie dodawana co krok.
Ciąg geometryczny jest naturalnym językiem procentu składanego: lokaty, inflacji, spadku wartości, wzrostu populacji, zmniejszania się ilości substancji. Jeśli coś co krok mnożysz przez tę samą liczbę, prawie zawsze jest tam ciąg geometryczny.
Poziom: podstawa + rozszerzenie. Wzory na wyrazy i sumę są podstawowe, a procent składany, zadania z parametrem i granica szeregu geometrycznego to część trudniejsza.
Słownictwo
Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę q.
q=aₙ₊₁/aₙ, gdy aₙ≠0
aₙ=a₁·qⁿ⁻¹
Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q), gdy q≠1
| Symbol | Znaczenie |
|---|---|
| a₁ | pierwszy wyraz |
| q | iloraz ciągu |
| aₙ | n-ty wyraz |
| Sₙ | suma n początkowych wyrazów |
Procent składany działa tak samo:
Kapitał po n okresach = K·(1+p)ⁿ
Dla spadku o p:
Wartość po n okresach = K·(1−p)ⁿ
1. Sprawdź, czy kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez stałą liczbę.
Przykład
Kwotę 1000 zł wpłacono na lokatę oprocentowaną 4% rocznie. Ile będzie po 3 latach, jeśli odsetki są dopisywane co rok?
- Uczeń dodaje procenty zamiast mnożyć kolejne okresy. - Uczeń myli różnicę r z ilorazem q.
Przykład
Typowe polecenia: - rozpoznaj ciąg geometryczny, - oblicz iloraz q, - wyznacz n-ty wyraz, - oblicz sumę kilku początkowych wyrazów, - rozwiąż zadanie o procentach składanych, - porównaj wzrost liniowy i wykładniczy. Najczęstsza strata p…
Ciąg geometryczny
Ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q.