Przekroje brył — przekrój to wielokąt, nie rysunek
Przekrój bryły płaszczyzną jest wielokątem, którego wierzchołki leżą na krawędziach. Wyznaczają go dwie reguły: płaszczyzna przecina ścianę wzdłuż odcinka, a ściany równoległe wzdłuż odcinków równoległych. Pole liczy się dopiero po rozpoznaniu figury — nigdy z rysunku, bo rzut zniekształca długości nierównomiernie.
Wzorzec
Przekroje brył — przekrój to wielokąt, nie rysunek
Zadanie o przekroju wygląda na zadanie z rysowania i dlatego bywa rozwiązywane „na oko". W rzeczywistości cała trudność leży w wyznaczeniu wierzchołków wielokąta, a pole liczy się potem zwykłym wzorem z planimetrii. Dwie reguły wystarczą, żeby ten wielokąt znaleźć zawsze — bez zgadywania i bez mierzenia linijką po rysunku, który i tak kłamie.
Otwórz figurę w nowej karcie ⤢Przykład
Po tej lekcji będziesz umieć
- Wyznaczyć wierzchołki przekroju, korzystając z dwóch reguł zamiast intuicji
- Rozpoznać, jaką figurą jest dany przekrój sześcianu
- Policzyć pole trzech klasycznych przekrojów sześcianu: prostokąta, trójkąta równobocznego i sześciokąta foremnego
- Wyznaczyć przekrój osiowy ostrosłupa prawidłowego i jego pole
- Zastosować skalę podobieństwa do przekroju równoległego do podstawy
- Uzasadnić, dlaczego długości i kątów nie wolno odczytywać z rysunku bryły
Po co Ci to na maturze
To wymaganie poziomu rozszerzonego — podstawa programowa, dział X Stereometria, zakres rozszerzony, punkt 2: wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
Poziom podstawowy zatrzymuje się na jednym, znacznie węższym punkcie: określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. Rozpoznać figurę to jeszcze nie to samo co ją wyznaczyć i policzyć jej pole.
Drugie wymaganie rozszerzenia z tego działu — twierdzenie o trzech prostopadłych — omawia lekcja Kąty w bryle. Te dwa tematy chodzą na maturze parami: przekrój często trzeba najpierw wyznaczyć, a potem policzyć w nim kąt.
Na arkuszu rozszerzonym to zwykle zadanie otwarte za kilka punktów, w którym osobno punktuje się poprawne wyznaczenie przekroju i osobno rachunek.
Wprowadzenie
Intuicja — dlaczego to wielokąt
Płaszczyzna jest nieskończona i płaska, bryła jest ograniczona ścianami. Częścią wspólną płaszczyzny i jednej ściany może być tylko odcinek — bo ściana jest płaskim wielokątem, a dwie płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej.
Dwie reguły, które wyznaczają każdy przekrój
Cała technika sprowadza się do dwóch zdań. Warto je znać dosłownie, bo zastępują zgadywanie.
Słownictwo
Trzy klasyczne przekroje sześcianu
Dla sześcianu o krawędzi a warto znać trzy przekroje, bo wracają w zadaniach niemal bez zmian. przekrój jak powstaje figura bok pole --- --- --- --- --- przekątniowy przez przekątną podstawy, prostopadle do niej prostokąt a oraz a\sqrt{2} a^2\sqrt{2} przez…
Ostrosłup prawidłowy — dwa przekroje, które wystarczą
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy a i wysokości H liczą się przede wszystkim dwa przekroje. Przekrój osiowy przez przekątną podstawy.
Dlaczego nie wolno mierzyć z rysunku
Rysunek bryły to rzut przestrzeni na płaszczyznę, a rzut zmienia długości i kąty. Co gorsza, zmienia je nierównomiernie — jedne zachowuje, inne nie — więc po samym rysunku nie poznasz, którym fragmentom można ufać.
Solver — jak postępować krok po kroku
1. Narysuj bryłę i zaznacz dane punkty.
Przykład
Przykład rozwiązany
Zadanie. Dany jest sześcian o krawędzi 6 .
Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
1. Czy wszystkie wierzchołki przekroju leżą na krawędziach bryły?
Wzorzec
Mini-praktyka — 8 zadań
1. Sześcian ma krawędź 4 .
Powtórka w 30 sekund
Przekrój bryły płaszczyzną jest wielokątem, którego wierzchołki leżą na krawędziach. Wyznaczają go dwie reguły: płaszczyzna przecina ścianę wzdłuż odcinka, a ściany równoległe wzdłuż odcinków równoległych.
Przykład
Kluczowe pojęcia
- Przekrój bryły płaszczyzną — część wspólna bryły i płaszczyzny; zawsze wielokąt, którego wierzchołki leżą na krawędziach bryły. - Ślad płaszczyzny na ścianie — odcinek będący częścią wspólną płaszczyzny przekroju i jednej ściany; kolejne ślady tworzą bok…
Częste błędy
Częste błędy
- Odczytywanie długości i kątów z rysunku. Dlaczego źle: rzut zniekształca nierównomiernie — na figurze tej lekcji bok a\sqrt{2} jest rozciągnięty o 22{,}5\% , a bok a wcale.
Przykład
Najczęstsze pytania
Czy wzory na pola tych przekrojów są w tablicach? Nie ma gotowych wzorów „na przekrój".
Status CKE
Wymaganie należy do zakresu rozszerzonego (podstawa programowa, dział X Stereometria , zakres rozszerzony, punkt 2). Zakres podstawowy obejmuje w tym obszarze wyłącznie określanie, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną — rozpoznanie …
Ćwicz dalej
- Sprawdzian z tej lekcji — zakładki quiz i fiszki powyżej sprawdzają dwie reguły wyznaczania przekroju i trzy klasyczne przypadki sześcianu. - Lekcja pokrewna: Kąty w bryle — między krawędziami, ścianą a podstawą (MAT.
Źródła
- Ministerstwo Edukacji Narodowej, Podstawa programowa kształcenia ogólnego — matematyka, szkoła ponadpodstawowa, dział X. Stereometria, zakres rozszerzony, pkt 2 oraz zakres podstawowy pkt 5.
- Centralna Komisja Egzaminacyjna, Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki — pola wielokątów (trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny).
- Schemat dydaktyczny i figura — materiał własny NexTutor. Wierzchołki wszystkich przekrojów wyliczone we współrzędnych, pola sprawdzone niezależnym rachunkiem w przestrzeni trójwymiarowej; dla sześciokąta potwierdzono płaskość, równość boków i kąty .
W tej lekcji
- 1Przekroje brył — przekrój to wielokąt, nie rysunek
- 2Po tej lekcji będziesz umieć
- 3Po co Ci to na maturze
- 4Intuicja — dlaczego to wielokąt
- 5Dwie reguły, które wyznaczają każdy przekrój
- 6Trzy klasyczne przekroje sześcianu
- 7Ostrosłup prawidłowy — dwa przekroje, które wystarczą
- 8Dlaczego nie wolno mierzyć z rysunku
- 9Solver — jak postępować krok po kroku
- 10Przykład rozwiązany
- 11Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
- 12Mini-praktyka — 8 zadań
- 13Powtórka w 30 sekund
- 14Kluczowe pojęcia
- 15Częste błędy
- 16Najczęstsze pytania
- 17Status CKE
- 18Ćwicz dalej
- 19Źródła