Walec i stożek najłatwiej ogarnąć przez trzy elementy: promień podstawy r, wysokość H i tworzącą l. W zadaniach najpierw rysujesz przekrój osiowy, potem decydujesz, czy liczysz objętość, pole boczne czy pole całkowite.
Walec i stożek pojawiają się w zadaniach o puszkach, zbiornikach, namiotach, lejach, objętości cieczy i figurach obrotowych. To jest stereometria, ale w praktyce często sprowadza się do dobrego rysunku przekroju i spokojnego podstawienia do wzoru.
Poziom: podstawa + rozszerzenie. Same wzory są szkolne, ale zadania z przekrojem osiowym, siatką stożka i optymalizacją są typowo rozszerzeniowe.
Słownictwo
Walec powstaje jakby z prostokąta obracanego wokół boku. Stożek powstaje jakby z trójkąta prostokątnego obracanego wokół jednej przyprostokątnej.
Najważniejsze wzory:
| Bryła | Objętość | Pole boczne | Pole całkowite |
|---|---|---|---|
| walec | V=πr²H | Pb=2πrH | Pc=2πr²+2πrH |
| stożek | V=(1/3)πr²H | Pb=πrl | Pc=πr²+πrl |
W stożku pojawia się jeszcze tworząca l. To nie jest wysokość. W przekroju osiowym stożka masz trójkąt równoramienny, a połowa tego przekroju daje trójkąt prostokątny:
l²=r²+H²
1. Ustal, czy bryła to walec, stożek, czy połączenie kilku brył.
Przykład
Stożek ma promień podstawy 6 cm i wysokość 8 cm. Oblicz jego objętość oraz pole powierzchni całkowitej.
- Uczeń myli wysokość stożka H z tworzącą l. - Uczeń przy polu całkowitym stożka dodaje dwie podstawy, jak w walcu.
Na maturze często dostajesz bryłę obrotową z rysunkiem i jednym brakującym wymiarem. Schemat jest prawie zawsze taki sam: odczytaj r i H, policz brakującą długość z Pitagorasa, a potem użyj wzoru na objętość albo pole.
Walec
Bryła obrotowa z dwiema równoległymi podstawami w kształcie kół.