Większość zadań z pochodnych nie wymaga liczenia z definicji, tylko szybkiego rozpoznania typu funkcji i użycia właściwej reguły. Największa pułapka to funkcja złożona — tam trzeba pomnożyć przez pochodną środka.
Reguły różniczkowania są jak tabliczka mnożenia dla pochodnych. Jeśli je opanujesz, zadania z monotoniczności, ekstremów, stycznej i optymalizacji stają się dużo prostsze.
Poziom: rozszerzenie. To podstawowy warsztat analizy matematycznej na poziomie rozszerzonym.
Słownictwo
Nie liczysz pochodnej od zera za każdym razem. Rozpoznajesz kształt funkcji i używasz reguły.
Najważniejsze wzory:
| Funkcja / działanie | Pochodna |
|---|---|
| c | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| a·f(x) | a·f'(x) |
| f(x)+g(x) | f'(x)+g'(x) |
| f(x)·g(x) | f'(x)g(x)+f(x)g'(x) |
| f(x)/g(x) | [f'(x)g(x)−f(x)g'(x)]/[g(x)]² |
| f(g(x)) | f'(g(x))·g'(x) |
Najważniejsze zdanie: przy funkcji złożonej różniczkujesz zewnętrzną funkcję i mnożysz przez pochodną środka.
1. Uprość funkcję, jeśli się da.
Przykład
Oblicz pochodną funkcji: f(x)=x²·(x³−4x) Krok 1: rozpoznaj działanie. To iloczyn dwóch funkcji: u=x² v=x³−4x Krok 2: policz pochodne.
- Uczeń przy iloczynie pisze pochodną jako u'v', czyli mnoży pochodne. - Uczeń przy ilorazie zapomina o minusie w liczniku.
Na maturze rozszerzonej pochodna rzadko jest celem samym w sobie. Najczęściej jest etapem większego zadania: znajdź monotoniczność, ekstrema, równanie stycznej albo maksimum pola/objętości.
Reguła sumy
Pochodna sumy to suma pochodnych.