Znak pochodnej mówi, czy funkcja rośnie czy maleje. Ekstrema lokalne pojawiają się zwykle tam, gdzie pochodna jest równa zero i zmienia znak.
To jest moment, w którym pochodna zaczyna naprawdę pracować. Nie liczysz jej dla samego liczenia — używasz jej, żeby opisać zachowanie funkcji: wzrost, spadek, maksimum i minimum.
Poziom: rozszerzenie. To jeden z najważniejszych bloków rachunku różniczkowego na maturze rozszerzonej.
Słownictwo
Pochodna jest jak znak drogowy dla wykresu:
| Znak f'(x) | Co robi funkcja? |
|---|---|
| f'(x)>0 | funkcja rośnie |
| f'(x)<0 | funkcja maleje |
| f'(x)=0 | możliwy punkt ekstremum albo punkt stacjonarny |
Samo f'(x)=0 nie wystarczy. Trzeba sprawdzić, czy znak pochodnej zmienia się z plusa na minus albo z minusa na plus.
1. Wyznacz dziedzinę funkcji.
Przykład
Zbadaj monotoniczność funkcji: f(x)=x³−3x² Krok 1: dziedzina. D=R Krok 2: pochodna.
- Uczeń znajduje f'(x)=0 i od razu wpisuje ekstremum, bez sprawdzenia znaku. - Uczeń bada znak funkcji f(x), zamiast znak pochodnej f'(x).
Na maturze rozszerzonej to klasyczny typ zadania: oblicz pochodną, zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema. CKE punktuje każdy etap osobno, więc nawet jeśli pomylisz końcówkę, możesz zdobyć część punktów za poprawną pochodną i tabelkę z…
Monotoniczność
Informacja, gdzie funkcja rośnie, maleje albo jest stała.