Całkowanie nieoznaczone to odwracanie pochodnej: szukasz funkcji, której pochodna daje podaną funkcję. Najczęściej wygrywa ten, kto zna kilka podstawowych wzorów i zawsze dopisuje stałą +C.
Całki wyglądają groźnie, ale pierwszy poziom jest bardzo prosty: to pochodna puszczona w drugą stronę.
Jeżeli pochodna funkcji F(x) daje f(x), to F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x).
Poziom: rozszerzenie. To nie jest temat z podstawowego minimum, ale w pełnym kursie matematyki rozszerzonej jest naturalnym krokiem po pochodnych.
Słownictwo
Pochodna odpowiada na pytanie:
"Co dostanę, gdy zróżniczkuję funkcję?"
Całka nieoznaczona odpowiada na pytanie odwrotne:
"Jaka funkcja po zróżniczkowaniu da mi to wyrażenie?"
Przykład:
F(x)=x³
F'(x)=3x²
Czyli:
∫3x² dx = x³ + C
Dlaczego +C? Bo pochodna stałej jest równa 0. Funkcje x³, x³+5, x³−100 mają tę samą pochodną 3x².
Najważniejszy wzór startowy:
| Funkcja pod całką | Wynik |
|---|---|
| xⁿ, n≠−1 | xⁿ⁺¹/(n+1)+C |
| 1/x | ln |
| cos x | sin x + C |
| sin x | −cos x + C |
| eˣ | eˣ + C |
| a·f(x)+b·g(x) | a∫f(x)dx+b∫g(x)dx |
1. Sprawdź, z jakich składników składa się funkcja pod całką.
Przykład
Oblicz całkę: ∫(6x² − 4/x + 5cos x)dx Krok 1: rozbij na składniki. ∫6x²dx − ∫4/x dx + ∫5cos x dx Krok 2: całkuj każdy składnik.
- Uczeń zapomina o +C. - Uczeń stosuje wzór potęgowy do 1/x i dostaje dzielenie przez 0.
Na rozszerzeniu całka nieoznaczona zwykle pojawia się jako element większego zadania: przed całką oznaczoną, polem pod wykresem albo polem między wykresami. CKE nie oczekuje akademickich sztuczek, ale oczekuje bezbłędnego użycia podstaw…
Funkcja pierwotna
Funkcja F, której pochodna jest równa danej funkcji f, czyli F'(x)=f(x).