Całka oznaczona daje liczbę, a nie rodzinę funkcji: liczysz funkcję pierwotną i podstawiasz górną oraz dolną granicę. Najważniejszy schemat to ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a).
Całka oznaczona to narzędzie do liczenia pola, skumulowanej zmiany i wielu wielkości, które są sumą małych kawałków. W liceum najczęściej użyjesz jej do pól pod wykresem i między wykresami.
Poziom: rozszerzenie. To temat maturalny dla kursu rozszerzonego i naturalna kontynuacja całki nieoznaczonej.
Całka nieoznaczona daje funkcję:
∫f(x)dx = F(x)+C
Całka oznaczona daje liczbę:
∫ₐᵇ f(x)dx
Twierdzenie Newtona-Leibniza mówi:
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)
gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f.
Czyli robisz trzy rzeczy:
W całce oznaczonej nie dopisujesz +C w wyniku końcowym, bo stała i tak się skraca:
[F(b)+C] − [F(a)+C] = F(b)−F(a)
1. Sprawdź granice całkowania: dolna a, górna b.
Przykład
Oblicz: ∫₁³ (2x+1)dx Krok 1: znajdź funkcję pierwotną. ∫(2x+1)dx = x²+x Krok 2: zapisz podstawienie granic.
- Uczeń podstawia tylko górną granicę i zapomina odjąć dolną. - Uczeń odejmuje w złej kolejności: F(a)−F(b) zamiast F(b)−F(a).
Na maturze rozszerzonej całka oznaczona często jest tylko środkiem do celu. Zadanie może pytać o pole figury, wartość parametru albo porównanie pól.
Całka oznaczona
Całka z granicami od a do b, której wynikiem jest liczba.