Pole między wykresami liczysz jako całkę z funkcji górnej minus dolnej na odpowiednim przedziale. Najważniejsze jest najpierw znaleźć punkty przecięcia i ustalić, który wykres jest wyżej.
To jest najbardziej praktyczne zastosowanie całek w liceum: masz dwa wykresy i chcesz policzyć pole obszaru między nimi. Zadanie wygląda geometrycznie, ale rozwiązanie jest algebraiczne.
Poziom: rozszerzenie. To typowy temat maturalny na rozszerzeniu, bo łączy funkcje, równania, całki i interpretację wykresu.
Pole między wykresami to suma pionowych odległości między funkcjami.
Jeżeli na przedziale [a,b] funkcja f(x) jest wyżej niż g(x), to:
P = ∫ₐᵇ [f(x)−g(x)]dx
Czyli schemat jest prosty:
wyższy wykres − niższy wykres
Największy błąd ucznia: zaczyna całkować, zanim ustali granice i kolejność funkcji.
1. Znajdź punkty przecięcia wykresów: rozwiąż równanie f(x)=g(x).
Przykład
Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami: f(x)=4−x² g(x)=x+2 Krok 1: znajdź punkty przecięcia. 4−x² = x+2 −x²−x+2=0 x²+x−2=0 (x+2)(x−1)=0 x=−2 lub x=1 Granice całkowania: od −2 do 1.
- Uczeń bierze funkcje w złej kolejności i dostaje ujemne pole. - Uczeń nie znajduje punktów przecięcia, tylko zgaduje granice z rysunku.
Na maturze rozszerzonej zadanie z polem między wykresami często ma kilka etapów. Najpierw trzeba rozwiązać równanie przecięcia, potem ustalić funkcję górną, dopiero później liczyć całkę.
Pole między wykresami
Pole obszaru ograniczonego przez dwa wykresy funkcji.